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1、Chap.2应力分析Analysisofstresses§2.1物体内一点的应力状态一、任意斜截面上的应力状况四面体应力MABC→0时即M点的斜截面应力设ABC面积为A则ΔMAC、MBC、MAB的面积分别为应力状态分析讨论一点各截面的应力变化规律，由应力分量确定一点应力状态为了确定弹性体内一点M任意斜截面应力，绕M点沿坐标轴向截取原始单元体，并任意斜面在其上截取四面体。斜面法向为n=(l,m,n)zyxM其中l，m，n表示斜面法向在坐标系Oxyz中的夹角方向余弦。lA,mA,nA则1.斜面应力分量Pn=(Xn,Yn,Zn)=(σn,τn)σ
2、zσyσxτxzτxyτyzτyxτzyτzx由平衡，知同除A并略去小量V/A，知同理，知斜面应力投影公式则全应力正应力切应力切应力互等定理y´同理，知由此证明了1)9个应力分量6个独立2)应力分量可完全确定一点的应力状态二、应力分量的坐标变换设已知坐标系Oxyz中弹性体中某点的应力分量为应力状态分析中，往往已知一坐标系下应力分量，而另一坐标系下应力状态表达更简单或意义更明确或讨论更方便，这时就需要坐标变换。应注意的是，一点应力状态与坐标选取没关系，只是应力分量表达不同而已。li，mi，ni表示两坐标系轴间的夹角方向余弦。求新坐标系Ox‘y
3、’z‘下该点的应力分量设两坐标系间关系:实际可将x‘是为任意斜截面法向，参照任意斜截面应力公式写出xyzx´(n)z´y´参考σn写出同理应力分量的坐标变换公式§2.2主应力材料力学已介绍过，但从三维一般开始一、主应力和主方向1.概念物体内一点的应力分量是随坐标系的旋转而改变的，那么，可否找到一个该点无切应力分量的坐标系。即物内某点处原始单元体上只有正应力而没有切应力。事实上，任何应力状态至少有三个相互垂直平面的切应力为零。主平面切应力为零的微分面称为主微分平面，简称。应力主方向主平面的外法向称为应力主轴或者称为。主应力主平面上的正应力称为
4、。Xn=sl,Yn=sm,Zn=sn2.主应力的确定n=(l,m,n)主应力为s=微分面上应力矢量pn其三个分量为Xn,Yn,Zn根据主平面的定义，应力矢量pn的方向应与法线方向n一致，则应力矢量的三个分量与主应力的关系为(1)同时，根据应力矢量与应力分量表达式，有(2)两式联立求解，得到(3)一个关于主平面方向余弦l，m，n的齐次线性方程组设过点O主微分面ABC外法向即应力主向条件为系数行列式等于零。即由于(4)方程组具有非零解由于一点的主应力和应力主轴方向取决于物体所受载荷和约束条件等，而与坐标轴的选取无关。因此特征方程的根是确定的，即
5、I1,I2,I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。因此I1,I2,I3分别称为展开上述行列式,可得(5)是确定弹性体中任意一点主应力的方程。称为主应力特征方程其中(6)所谓不变量是指同一点的应力张量而言的，与坐标轴选取无关。不同点，应力状态不同，这些量是不同的应力张量的第一不变量第二不变量第三不变量并与关系式(4)联立求解l,m,n，即求得对应应力主方向方向余弦(l,m,n)。主应力可以证明，特征方程有三个实数根s1，s2，s3，即某点的三个主应力。有三个实数根s1≥s2≥s3即某点的三个主应力3.应力主方向的确定将计算所得的s1，s2，s3
6、分别代入齐次方程组的任意两式(3)解特征方程(5)二、应力不变量具有以下性质：1.不变性：由于一点的正应力和应力主轴方向取决于弹性体所受的外力和约束条件，而与坐标系的选取无关。因此对于任意一个确定点，特征方程的三个根是确定的，因此I1，I2，I3的值均与坐标轴的选取无关。坐标系的改变导致应力张量的各个分量变化，但该点的应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。2.实数性：特征方程的三个根，就是一点的三个主应力，根据三次方程根的性质，容易证明三个根均为实根，所以一点的三个主应力均为实数。3.正交性：任一点的应力主方向，即三个应力主轴是
7、正交的。包括a.若s1≠s2≠s3，特征方程无重根，因此，应力主轴必然相互垂直b.若s1=s2≠s3，特征方程有两重根，s1和s2的方向必然垂直于s3的方向。而s1和s2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；c.若s1＝s2＝s3，特征方程有三重根，三个应力主轴可以垂直，也可以不垂直。即任何方向都是应力主轴。下面证明主应力的正交性：证明应力不变量的正交性。设s1，s2和s3的方向余弦分别为（l1，m1，n1）,（l2，m2，n2）,（l3，m3，n3）应满足齐次方程组(3),有将前三式分别乘l2，m2和n2中间三式分别乘-l1，-m1，-n1然
8、后将六式相加，可得同理则若s1≠s2≠s3，有l1l2+m1m2+n1n2＝0l2l3+m2m3+n2n3＝0l1l3+m1m3+n1n3＝0即三个主应力均不相等时，三应力主方向
