应用高等数学教案.doc

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1、应用高等数学教案第一章函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则。同时还介绍与极限概念密切相关的微积分学中另一个重要的概念――连续，和连续函数的若干重要性质。具体的要求如下：1．理解极限的概念。2．掌握极限四则运算法则。3．了解两个极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。4．了解无穷小、无穷大，以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。5.理解函数在一点连续的概念。6.了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。7.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的

2、性质（介值定理、零点定理和最大、最小值定理）。绪论数学：数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科。数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。关于数学应用和关于微积分的评价：华罗庚：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学。恩格斯：在一切理论成就中，未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里。张顺燕《数学与文化》——在北大数学文化节上的报告：微积分是人类的

3、伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程；有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产，也就有了现代的社会。航天飞机，宇宙飞船等现代化交通工具都是微积分的直接后果。数学一下子到了前台。数学在人类社会的第二次浪潮中的作用比第一次浪潮要明显多了。初等数学与高等数学的根本区别：用初等数学工具解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯

4、穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。学习高等数学应注意的方法：上课认真听讲（最好能预习），积极参与课堂讨论、研究，课后及时复习；透彻理解概念，熟练掌握重要定理、公式、运算法则，做适量练习；应用所学知识解决实际问题；归纳总结，不断提高，建构起高等数学适应体系。第一节函数、第二节初等函数1.掌握区间、邻域的概念。2.了解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式。3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。4.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数的概念。5.掌握基本初

5、等函数的性质及其图形。一．邻域——开区间，以a为中心的邻域，以a为中心的去心邻域二．函数：定义1（P3），，，……定义域，函数值，值域。函数的两个要素：对应法则、定义域。三．分段函数1．称为“分界点”。2．符号函数3．取整函数，[3.1]=3，[-3.1]=-4。四．反函数的定义：设有函数其定义域为，如果对于中的每一个值，都可以从关系式确定唯一的值（）与之对应，这样所确定的以为自变量的函数叫做函数的反函数，它对定义域为，值域为。习惯上，函数的自变量都用表示，氢反函数通常表示为一．函数的几种特性1．有界性：设，定义域为D，D，，恒有。则

6、称函数在D上有界。否则称函数在D上无界。，在[1，+)，有界；在(0,1)，无界。2．单调性：设，定义域为D，D，当时，单调递增当时，单调递减单调递增与单调递减的函数统称为单调函数。3．奇偶性：偶函数奇函数4．周期性：D，D，例1．狄里克莱函数。狄里克莱函数是周期函数，但它没有最小正周期。2．符号函数3．取整函数，[3.1]=3，[-3.1]=-4。二．复合函数，例3．将下列函数“分解”成“简单”的函数：，，三．基本初等函数与初等函数：1、常数函数2、幂函数3、指数函数4、对数函数5、三角函数6、反三角函数：初等函数：由基本初等函数经

7、过有限次的四则运算及有限复合步骤所构成，并且可以用一个式子表示的函数叫做初等函数。一．双曲函数与反双曲函数，，作业P20~21习题2（3）、（4）、（6）；5；7。第四节数列的极限数列极限的定义数列的定义：数列实质上是整标函数，正整数集（i）：1，，，…，，…0（ii）：2，，，…，1+，…1确定：要使<0.01，只要>100；要使<0.0001，只要>10000；要使<，只要>[]。（iii）：1，-1，1，…，，…不存在数列极限描述性定义（P27）：如果当无限增大时，数列无限接近于一个确定的常数，那么就叫做数列的极限，或称数列收敛

8、于，记作或当数列极限定义：如果存在常数，使得对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正整数N，只要n>N，绝对值不等式<恒成立，则称数列{}以常数为极限，记为=（或，）。数列极限的分析（）定义：设，，，当时，恒成立，则