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《高等数学教案ch 8.3 全微分及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、§8.3全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有偏增量与偏微分:f(x+Dx,y)-f(x,y)»fx(x,y)Dx,f(x+Dx,y)-f(x,y)为函数对x的偏增量,fx(x,y)Dx为函数对x的偏微分;f(x,y+Dy)-f(x,y)»fy(x,y)Dy,f(x,y+Dy)-f(x,y)为函数)对y的偏增量,fy(x,y)Dy为函数对y的偏微分.全增量:Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y).计算全增量比较复杂,我们希望用Dx、Dy的线性函数来近似代替之.定义如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,
2、y)可表示为,其中A、B不依赖于Dx、Dy而仅与x、y有关,则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,而称ADx+BDy为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分,记作dz,即dz=ADx+BDy.如果函数在区域D内各点处都可微分,那么称这函数在D内可微分.可微与连续:可微必连续,但偏导数存在不一定连续.这是因为,如果z=f(x,y)在点(x,y)可微,则Dz=f(x+Dx,y+Dy)-f(x,y)=ADx+BDy+o(r),于是,从而.因此函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续.可微条件:定理1(必要条件)如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点的偏导数、必
3、定存在,且函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分为.证设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可微分.于是,对于点P的某个邻域内的任意一点P¢(x+Dx,y+Dy),有Dz=ADx+BDy+o(r).特别当Dy=0时有第5页共5页f(x+Dx,y)-f(x,y)=ADx+o(
4、Dx
5、).上式两边各除以Dx,再令Dx®0而取极限,就得,从而偏导数存在,且.同理可证偏导数存在,且.所以.简要证明:设函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分.于是有Dz=ADx+BDy+o(r).特别当Dy=0时有f(x+Dx,y)-f(x,y)=ADx+o(
6、Dx
7、).上式两边各除以Dx,再令Dx®0而取
8、极限,就得,从而存在,且.同理存在,且.所以.偏导数、存在是可微分的必要条件,但不是充分条件.例如,函数在点(0,0)处虽然有fx(0,0)=0及fy(0,0)=0,但函数在(0,0)不可微分,即Dz-[fx(0,0)Dx+fy(0,0)Dy]不是较r高阶的无穷小.这是因为当(Dx,Dy)沿直线y=x趋于(0,0)时,.定理2(充分条件)如果函数z=f(x,y)的偏导数、在点(x,y)连续,则函数在该点可微分.定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯,Dx、Dy分别记作dx、dy,并分别称为自变量的微分,则函数z=f(x,y)的全微分可写作.第5页共5页二元函数的全微分
9、等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.叠加原理也适用于二元以上的函数,例如函数u=f(x,y,z)的全微分为.例1计算函数z=x2y+y2的全微分.解因为,,所以dz=2xydx+(x2+2y)dy.例2计算函数z=exy在点(2,1)处的全微分.解因为,,,,所以dz=e2dx+2e2dy.例3计算函数的全微分.解因为,,,所以.*二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z=f(x,y)在点P(x,y)的两个偏导数fx(x,y),fy(x,y)连续,并且
10、Dx
11、,
12、Dy
13、都较小时,有近似等式Dz»dz=fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy,即f(x+Dx,y+D
14、y)»f(x,y)+fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy.我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例4有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径由20cm增大到20.05cm,高度由100cu减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值.解设圆柱体的半径、高和体积依次为r、h和V,则有V=pr2h.已知r=20,h=100,Dr=0.05,Dh=-1.根据近似公式,有DV»dV=VrDr+VhDh=2prhDr+pr2Dh=2p´20´100´0.05+p´202´(-1)=-200p(cm3).即此圆柱体在受压后体积约减少了200pcm3.第5页共5页例5计算(1.04)2.02的近
15、似值.解设函数f(x,y)=xy.显然,要计算的值就是函数在x=1.04,y=2.02时的函数值f(1.04,2.02).取x=1,y=2,Dx=0.04,Dy=0.02.由于f(x+Dx,y+Dy)»f(x,y)+fx(x,y)Dx+fy(x,y)Dy=xy+yxy-1Dx+xylnxDy,所以(1.04)2.02»12+2´12-1´0.04+12´ln1´0.02=1.08.例6利用单摆摆动测定重力加速度g的公式是.现测得单摆摆长l与振动
