高考一轮复习：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用.doc

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1、第4讲　正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用【2015年高考会这样考】1．考查正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．2．结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用．3．考查y＝sinx到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径．【复习指导】本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．　　基础梳理1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示xωx＋

2、φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A02．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝叫做周期，f＝叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．4．图象的对称性函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中ωxk＋φ＝kπ＋，k∈Z)成轴对称图形．(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的

3、图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．一种方法在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝，k＝，ω由周期T确定，即由＝T求出，φ由特殊点确定．一个区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是

4、φ

5、个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．两个注意作正弦型函数y＝Asi

6、n(ωx＋φ)的图象时应注意：(1)首先要确定函数的定义域；(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．双基自测1．(人教A版教材习题改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)．A．2，，－B．2，，－C．2，，－D．2，，－答案　A2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)．A．T＝6π，φ＝B．T＝6π，φ＝C．T＝6，φ＝D．T＝6，φ＝解析　由题图象知T＝2(4

7、－1)＝6⇒ω＝，由图象过点(1,2)且A＝2，可得sin＝1，又

8、φ

9、＜，得φ＝.答案　C3．函数y＝cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为(　　)．A．－sinxB．sinxC．－cosxD．cosx解析　由图象的平移得g(x)＝cos＝－sinx.答案　A4．设ω＞0，函数y＝sin＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)．A.B.C.D．3解析　y＝sin＋2向右平移个单位后得到y1＝sin＋2＝sin＋2，又y与y1的图象重合

10、，则－ω＝2kπ(k∈Z)．∴ω＝－k.又ω＞0，k∈Z，∴当k＝－1时，ω取最小值为，故选C.答案　C5．(2011·重庆六校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析　由题意设函数周期为T，则＝π－＝，故T＝π.∴ω＝＝.答案　　　考向一　作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象【例1】►设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的最小正周期为π，且f＝.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．[审题视点](1)由已知条件可求ω

11、，φ；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．解　(1)周期T＝＝π，∴ω＝2，∵f＝cos＝cos＝－sinφ＝，∵－＜φ＜0，∴φ＝－.(2)由(1)知f(x)＝cos，列表如下：2x－－0πππx0ππππf(x)10－10图象如图：(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω来确定平移单位．【训练1】已知函数f(x)＝3sin，x∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区

12、间上的简图；(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？解　(1)列表取值：xππππx－0ππ2πf(x)030－30描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y＝sinx的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．考向二　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式【例2】►