正方形的性质与判定2（2011年）.doc

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1、1.(2011福建省福州市)已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交于点，垂足为．（1）如图1，连接．求证四边形为菱形，并求的长；（2）如图2，动点分别从两点同时出发，沿和各边匀速运动一周，即点停止，点自停止．在运动过程中，已知点的速度为每秒，点的速度为每秒，运动时间为秒，当四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．若点的运动路程分别为（单位：，），已知四点为顶点的四边形是平行四边形，求与满足的数量关系式．图1图2备用图答案：（1）证明：四边形是矩形垂直平分，垂足为四边形为平行四边形又四边形为菱形设菱形的边长，则在中

2、，由勾股定理得，解得（2）显然当点在上时，点在上，此时四点不可能构成平行四边形；同理当点在上时，点在或上，此时也不能构成平行四边形；因此只有当点在上、点在上，才能构成平行四边形．以四点为顶点的四边形是平行四边形时，点的速度为每秒5cm，点的速度为每秒4cm，运动时间为秒解得以四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒．由题意得，以四点为顶点的四边形是平行四边形时，点在互相平行的对应边上．分三种情况：如图1，当点在上、点在上时，，即，得如图2，当点在上、点在上时，，即，得如图3，当点在上、点在上时，，即，得图1图2图3综

3、上所述，与满足的数量关系式是3.5正方形的性质与判定开放题解决问题2011-08-102.(2011江苏省南京市)如图，菱形的边长是2cm，是的中点，且，则菱形的面积为_________．答案：23.5正方形的性质与判定填空题基础知识2011-08-153.(2011江苏省南京市)如图，将的边延长到点，使，连接，交于点．（1）求证：；（2）若，连接，求证：四边形是矩形．答案：证明：（1）四边形是平行四边形，．．在和中，．（2）解法一：，四边形是平行四边形．四边形是平行四边形，又是矩形．解法二：四边形是平行四边形．

4、四边形是平行四边形，又．又即．是矩形．3.5正方形的性质与判定证明题双基简单应用2011-08-154.(2011江苏省宿迁市)如图，在边长为2的正方形中，为的中点，为边上一动点，设≤≤，线段的垂直平分线分别交边、于点、，过作于点，过作于点．（1）当时，求证：△△；（2）顺次连接、、、，设四边形的面积为，求出与自变量之间的函数关系式，并求的最小值．ABCDQPMNEF答案：（1）证明：如图，ABCDQPMNEFO因为是正方形，所以，又因为，所以是矩形，所以．同理可证，，所以．设与交于点，因为，所以，,所以．因为,

5、所以△△．（2）解法一：由（1）知，△△，所以，因为，，所以．在中，由勾股定理，得，因为，且，所以，又因为，所以当时，有最小值．　解法二：由（1）知，△△，所以。不妨设、，，则，又，所以。因为，，，，所以，又因为,因此，又因为，所以当时，有最小值．　3.5正方形的性质与判定基础知识2011-08-155.(2011江苏省徐州市)如图，将边长为的正方形沿对角线平移，使点移至线段的中点处，得新正方形，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是（　　）Ａ．　　B．　　C．1　　D．答案：B　3.5正方形的性质与

6、判定选择题基础知识2011-08-156.(2011江苏省徐州市)如图，将矩形纸片按如下顺序进行折叠：对折、展开，得折痕（如图①）；沿折叠，使点落在上的点处（如图②）；展开，得折痕（如图③）；沿折叠，使点落在上的点处（如图④）；沿折叠（如图⑤）；展平，得折痕（如图⑥）．（1）求图②中的大小；（2）图⑥中的是正三角形吗？请说明理由．答案：（1）法一：连接，由折叠知，是线段的对称轴.∴又，∴∴是等边三角形．∴法二：由折叠知，在中，∵∴即法三：过作，垂足为中，∵∴（2）根据题意，平分，∴∴由折叠知，是线段的对称轴.∴∴

7、是等边三角形.（有一个角是的等腰三角形是等边三角形）.3.5正方形的性质与判定猜想、探究题基础知识2011-08-157.(2011江苏省盐城市)情境观察将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和，如图1所示.将的顶点与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A()、B在同一条直线上，如图2所示．图1图2观察图2可知：与BC相等的线段是________，∠=________°．问题探究如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰R

8、t△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.图3拓展延伸如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB=kAE，AC=kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.图4答案：解：情境观察AD（或A′D），90问题探究结论：