2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(全国卷).doc

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1、姓名准考证号绝密★启封并使用完毕前试卷类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数满足，则（A）（B）（C）（D）（2）（A）（B）（C）（D）（3）设命题：，，则为（A），（B），（C），（D），（4）投篮测试中，每人投3

2、次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）（B）（C）（D）（5）已知是双曲线上的一点，、是的两个焦点．若，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知斛米的体积约为立方尺，圆周率约为．估算出堆放斛的米约有（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛（7）设为△所在平面内一

3、点，，则（A）（B）（C）（D）（8）函数的部分图象如图所示，则的单调递减区间为（A），（B），（C），是否输入输出结束开始（D），（9）执行右面的程序框图，如果输入的，则输出的（A）（B）（C）（D）（10）的展开式中，的系数为（A）（B）（C）（D）（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为，则（A）（B）（C）（D）（12）设函数，其中．若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题～第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（22）

4、题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。（13）若函数为偶函数，则．（14）一个圆经过椭圆的三个顶点，且圆心在轴的正半轴上，则该圆的标准方程为．（15）若，满足约束条件则的最大值为．（16）在平行四边形中，，，则的取值范围是．三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）为数列的前项和，已知，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和．（18）（本小题满分12分）如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，．（Ⅰ）证明：平面平面；（Ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值．（19）（本小题满分12分）某公司

5、为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费（单位：千元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对近年的年宣传费和年销售量（，，…，）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．年宣传费/千元46.65636.8289.81.61469108.8表中，．（Ⅰ）根据散点图判断，与哪一个适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建设关于的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润与，的关系为．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费为何值时，年利润的预

6、报值最大？附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．（20）（本小题满分12分）在直角坐标系中，曲线与直线（）交于、两点．（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程；（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．（21）（本小题满分12分）已知函数，．（Ⅰ）当为何值时，轴为曲线的切线；（Ⅱ）用表示，中的最小值，设函数（），讨论零点的个数．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图

7、，是⊙的直径，是⊙的切线，交⊙于点．（Ⅰ）若为的中点，证明：是⊙的切线；（Ⅱ）若，求的大小．（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线，圆，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求，的极坐标方程；（Ⅱ）若直线的极坐标方程为（），设与的交点为，，求△的面积．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数，．（Ⅰ）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若的图象与