第1课时等比数列 教案（北师大版必修五）.doc

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1、§3等比数列3．1　等比数列第1课时　等比数列●三维目标1．知识与技能掌握等比数列的概念和通项公式，理解等比数列的通项公式的推导过程．2．过程与技能通过与等差数列的通项公式的推导过程类比，探索等比数列的通项公式，体会类比思想．3．情感、态度与价值观通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质．●重点难点重点：等比数列的概念和通项公式．难点：等比数列的判定．●教学建议问题问题设意图师生活动(1)教材P21问题(1)由拉面次数生活模型，归纳每次捏合的规律，并用数列模型加以刻画引导学生，启发学生发现规律：第1次是1根，第2次捏合成2

2、×1＝2根，第3次捏合成2×2＝22根，…记录每次捏合成的根数，从而得到数列1，2，4，8，…(2)《庄子》中有这样的论述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．由“日取其半”发现等比数列引导学生发现“日取其半”所蕴涵的等比关系．你能用现代语言叙述这段话吗？若把“一尺之棰”看成单位“1”，那么“日取其半”会得到一个怎样的数列？发现等比关系，写出一个无穷等比数列.(3)回忆数列的等差关系和等差数列，观察前面2个数列，说说它们有什么共同特点发现数列中的等比关系，概括出等比数列的概念引导学生类比等差数列的概念，概括出等比数列的定义．分组讨论它们的共同特点，然后归纳等比数列的定

3、义、并交流.(4)总结学生的结论，给出等比数列的定义●教学流程⇒⇒⇒⇒⇒⇒(对应学生用书第16页)课标解读1.掌握等比数列的概念、判定方法和通项公式(重点)．2．理解等比数列通项公式的推导过程．3．掌握等比数列通项公式的简单应用(重点、难点).等比数列的概念【问题导思】　　对于下列数列：①2，4，8，16，…；②1，，，，…；③1，3，9，27，…这几个数列，从相邻项的关系上看，有什么共同特征？怎样用关系式表示上面数列中an＋1与an的关系？【提示】　从第2项起，每一项与前一项的比是同一个常数．①＝2；②＝；③＝3.文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项

4、的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，公比常用字母q表示(q≠0).符号语言若＝q(n≥2，q≠0)，则数列{an}为等比数列.等比数列的通项公式【问题导思】　　上面这3个数列的通项公式分别是什么？【提示】　①an＝2n；②an＝()n－1；③an＝3n－1.　首项是a1，公比是q的等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)．(对应学生用书第17页)等比数列的通项公式　已知{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通项公式．【思路探究】　欲求an需要已知a1、q，如何由a3＝2与a2＋a4

5、＝表示出a1、q呢？【自主解答】　设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2＝＝，a4＝a3q＝2q，∴＋2q＝，解得q＝或q＝3.当q＝时，a1＝18，此时an＝18×()n－1＝2×33－n；当q＝3时，a1＝，此时an＝×3n－1＝2×3n－3.1．a1和q是等比数列的基本元素，只要求出这两个基本元素，其余的元素便可求出．2．等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q知任意三个就可以求出另外一个．本例中若条件改为a1＋a3＝10，a4＋a6＝，如何求an.【解】　由题意知a1(1＋q2)＝10，①a1q3(1＋q2)＝.②得q＝，∴a1(1＋)＝10，∴

6、a1＝8.∴an＝8×()n－1＝24－n.等比数列的判定　已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N＋)．(1)求a1、a2；(2)求证：数列{an}是等比数列．【思路探究】　利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，求an，再利用定义证明．【自主解答】　(1)∵Sn＝(an－1)(n∈N＋)，∴当n＝1时，S1＝(a1－1)，即a1＝(a1－1)，得a1＝－，当n＝2时，S2＝a1＋a2＝(a2－1)，∴a2＝.(2)证明　当n＝1时，a1＝－；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，即2an＝－an－1，∴＝－.∴{an}

7、是首项为－，公比为－的等比数列．证明数列是等比数列常用的方法：①定义法：＝q(常数)或＝q(常数)(n≥2)⇔{an}为等比数列．②等比中项法：an＋12＝an·an＋2(an≠0，n∈N＋)⇔{an}为等比数列；③通项法：an＝a1qn－1(其中a1、q为非零常数，n∈N＋)⇔{an}为等比数列．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1.(1)证明：数列{an＋1}是等比数列；(2)求数列{an}的通项．【解】　(1)证明：由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，∴＝2.即{an＋1}是等比数列．(2)由(1)知{an＋1}为等比数列