向量数乘运算及其几何意义学案（人教A版必修4）.doc

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1、2.2.3　向量数乘运算及其几何意义学习目标1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。重点、难点重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件；难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。自主学习1．向量的数乘(1)定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个____

2、____，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.(2)规定：

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、.当λ>0时，λa的方向与a的方向________；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝________.(3)几何意义：λa可以看作是把向量a沿着a的方向(λ>0时)或a的反方向(λ<0时)扩大或缩小

9、λ

10、倍得到．2．向量数乘的运算律向量的数乘运算满足下列运算律：设λ，μ为实数，则(1)(λ＋μ)a＝__________；(2)λ(μa)＝(________)a；(3)λ(a＋b)＝__________(分配律

11、)．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝__________.3．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝__________.4．共线向量定理(1)向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得__________．(2)如果向量a与b不共线，且λa＝μb，那么λ＝μ＝0.已知平面内O，A，B，C四点，若＝x＋y，(x，y∈R)．(1)若x＋y＝1，求证A、B、C三点共线；(2)若

12、A、B、C三点共线，则实数x，y应满足怎样的条件？对点讲练向量的线性运算例1　计算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)－；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．回顾归纳　向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项”、“提取公因式”，但这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．变式训练1　计算：(1)3(6a－b)－9(a－b)；(2)－2；(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.共线向量定理的应用例2　判断下列各组向量是否共线(

13、其中e1、e2为不共线向量)．(1)a＝e1－e2，b＝3e1－2e2；(2)a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.回顾归纳　判断两个非零向量a，b是否共线，关键是看能否找到一个实数λ，使b＝λa，若这样的实数λ不存在，则两向量必不共线，常转化为判断方程(组)是否有解．变式训练2　两个非零向量a、b不共线．(1)若A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使ka＋b与2a＋kb共线．共线向量在平面几何中的应用例3　如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线

14、分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．回顾归纳　向量是研究平面几何问题的重要工具之一，具体运用向量时要注意准确理解向量反映的几何性质．变式训练3　已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则等于(　　)A．λ(＋)，λ∈(0,1)B．λ(＋)，λ∈C．λ(－)，λ∈(0,1)D．λ(－)，λ∈1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a，λ－a是没有意义的．2．λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小为原

15、来的

16、λ

17、倍．向量表示与向量a同向的单位向量．3．共线向量定理是证明三点共线的重要工具．即三点共线问题通常转化为向量共线问题.课时作业一、选择题1．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于(　　)A.a＋bB．a＋bC.(a＋b)D．a＋b2．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则(　　)A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝3．已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)A．B、C、DB

18、．A、B、CC．A、B、DD．A、C、D4．在△ABC中，点D在线段CB的延长线上，且＝4＝r＋s，则r－s等于(　　)A．0B.C.D．35．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则(　　)A．P在△ABC内部B．P在△ABC外部C．P在AB边上或其延长线上D．P在AC边上题号12345答案二、填空题6．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝_