向量数乘运算及其几何意义课件(人教A版必修4)

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1、2．2.3向量数乘运算及其几何意义学习导航预习目标重点难点重点：向量数乘运算及其几何意义，会用各种运算律进行运算．难点：共线定理的应用．新知初探思维启动1.向量的数乘运算(1)向量的数乘运算的概念实数λ与向量a的积是一个______，这种运算叫做_____________，记作_____，其长度与方向规定如下：①

2、λa

3、＝___________．向量向量的数乘λa

4、λ

5、

6、a

7、λ<0λ>0特别地,当λ＝0或a＝0时,0a＝___或λ0＝___.(2)向量数乘的运算律①λ(μa)＝____________；②(λ＋μ)a＝___________；③λ(a＋b)＝___________．00(λμ)

8、aλa＋μaλa＋λb(3)向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a±μ2b)＝____________________.λμ1a±λμ2b做一做1.已知λ∈R，下列关系式正确吗？①若λ＝0,则λa＝0;②若a＝0,则λa＝0；③

9、λa

10、＝

11、λ

12、a；④

13、λa

14、＝λ

15、a

16、.解析：实数λ与向量a的积λa也是一个向量,所以①错,②正确;

17、λa

18、＝

19、λ

20、

21、a

22、,所以③④错.想一想向量与实数可以求积，那么向量和实数可以进行加减运算吗？提示：不可以．向量与实数不能进行加减运算，如1＋a和λ－a无法运算．2.共线向量定理向量a(

23、a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使____________．b＝λa做一做已知向量a，b不共线，则c＝a－2b与d＝－2a＋4b的位置关系是什么？提示：d＝－2c，故c与d共线．典题例证技法归纳题型探究例1题型一向量的线性运算【名师点评】向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．变式训练题型二向量线性运算的应用例2【名师点评】(1)充分利用平面几何的一些结论，转化为相等向量、相反向量、共线向量及比例关系，建立已知向量与未知向量有直接

24、关系的向量来解决问题．(2)注意几何条件的运用：如在本例中DE∥BC⇒△ADE∽△ABC，△ADN∽△ABM等．(3)此类问题直接转化困难时，可建立相关向量的方程求解．变式训练题型三共线向量定理的应用例3名师微博由b＝λa得出线与线的平行.【名师点评】(1)证明三点共线，可转化为证明两个向量共线．(2)解决向量共线问题的关键是能否找到一个实数λ使得b＝λa.若这样的λ不存在，则向量一定不共线；若这样的λ存在，则向量一定共线．互动探究备选例题答案：等腰梯形方法感悟方法技巧3.向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简

25、化运算．失误防范1.对于λa，当

26、λ

27、＞1时，表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的

28、λ

29、倍；当

30、λ

31、＜1时,表示a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩小为原来的

32、λ

33、倍.2.数乘向量λa＝0，则可得λ＝0或a＝0;反之,也成立．3.如果a与b不共线,且λa＝μb,则λ＝μ＝0.