2010年天津师大学生数学竞赛.doc

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1、2010年天津市大学数学竞赛试题（经济管理类）本试卷共12页12题，考试时间为150分钟，满分100分1．设，则。2．设曲线在拐点处有水平切线，则b=，c=，。3．。4．已知a，b，c是两两垂直的单位向量，u=a+b+c，则∣u∣=。5．设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到2π的一段弧与极轴所围成的图形的面积为。一、填空：（本题15分，每小题3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）总分题号一二三四五核分人题分1515767复查人得分题号六七八九十十一十二题分7876877得分二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在

2、括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．设函数其中是有界函数，则在点处（）。（A）极限不存在；（B）极限存在，但不连续；（C）连续但不可导；（D）可导。2．设函数连续，则（）。（A）；（B）；（C）；（D）。3．下列命题：⑴设，，且，则必有。⑵设，且，，则必有。⑶设，且，则必存在。正确的个数为（）。（A）0个；（B）1个；（C）2个；（D）3个。4．设周期函数可导，周期为3，且，则曲线在点处的切线方程为（）。（A）；（B）；（C）；（D）。5．设函数，若在区间内，，则在区间内（）。（A），；（B），；（C），；（D），。得分评卷人复核人三、计算。（本题7分）得分评卷人

3、复核人四、设，求。（本题6分）五、设对任意x函数满足等式，求的极值。（本题7分）得分评卷人复核人得分评卷人复核人六、设a，b均为常数且，，问a，b为何值时，有。（本题7分）得分评卷人复核人七、设，，证明：存在并求其值。（本题8分）得分评卷人复核人八、设是区间上的函数，且，，证明：，。（本题7分）九、设是由所确定的二元函数，求：，。（本题6分）得分评卷人复核人得分评卷人复核人十、设区域，函数在区域D上连续且，，证明：存在，使。（本题8分）得分评卷人复核人十一、证明：。（本题7分）得分评卷人复核人十二、20世纪初意大利经济学家基尼(Ginicoefficient)根据洛伦茨曲线提出判断社会分配平

4、等程度的指标。建立坐标系如图，很明显y=x这条直的实际收入分配曲线就是洛伦茨曲线。洛伦茨曲线与绝对平等线OM越接近，收入分配越平等；洛伦茨曲线与绝对不平等线OPM越接近，收入分配越不平等。1．请你建立一个数学模型，用以判断社会分配公平程度，并将社会分配公平程度进行量化。2．假设2008年某国家的洛伦茨曲线可用如下函数表示：，根据你所建立的模型讨论这个国家2008年的收入分配是否合理。（本题7分）线表示收入分配完全平等，称为绝对平等线；折线OPM表示收入分配极端不平等，全部收入集中在一个人手中，称为绝对不平等线；介于二线之间