天津大学生数学竞赛(2)

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1、2004年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。）1．设函数，则函数的定义域为。2．设要使函数在区间上连续，则。3．设函数由参数方程所确定，其中f可导，且，则3。4．由方程所确定的函数在点处的全微分dz=。5．设，其中f、具有二阶连续导数，则。二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）1．已知，则(A)（A）12；（B）

2、3；（C）1；（D）0。2．设函数在的一个邻域内有定义，则在点处存在连续函数使是在点处可导的（C）（A）充分而非必要条件；（B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分，也非必要条件。3．设，则F(x)=（D）(A);(B);８(C);(D)。1．函数，在点处（B）（A）可微；（B）偏导数存在，但不可微；（C）连续，但偏导数不存在；（D）不连续且偏导数不存在。2．设为区间上的正值连续函数，与为任意常数，区域，则（D）（A）；（B）；（C）；（D）。三、设函数在点的某邻域内具有二阶导数，且。求

3、：，，及。（本题6分）解：因为，所以。由无穷小比较，可知，以及。从而，其中，即。由此可得，，。８并有。四、计算。（本题6分）解：五、求函数在点处的100阶导数值。（本题6分）解：方法一：利用莱布尼兹公式，又由归纳法可得。故。所以。方法二：利用泰勒公式，故，。六、设为定义在上，以T>0为周期的连续函数，且。求。（本题7分）８解：对于充分大的x>0，必存在正整数n，使得。又，故有，及。注意到：，且当时，。由夹逼定理可知。七、在椭球面上求一点，使函数在该点沿方向的方向导数最大。（本题8分）解：函数的方向导数的

4、表达式为。其中：为方向的方向余弦。因此。于是，按照题意，即求函数在条件下的最大值。设，则由８得以及，即得驻点为与。因最大值必存在，故只需比较，，的大小。由此可知为所求。八、设正整数，证明方程至少有两个实根。（本题6分）证明：设，则其在区间上连续，且，。因而，当时，必存在，使得。由连续函数的介值定理可知，至少有一点，使得。同理，当时，必存在，使得。由连续函数的介值定理可知，至少有一点，使得。综上可知，方程至少有两个实根。九、设。证明存在，并求之。（本题8分）证明：证明存在：注意到：对于一切的n恒有，，因此

5、知数列有界。又，８，……，，于是可知与同号，故当时，数列单调递增；当时，数列单调递减。也就是说，数列为单调有界数列，而单调有界数列必有极限。求：设，则，解之得，即。十、计算曲面积分，其中是曲线绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。（本题7分）解：旋转曲面的方程为。补充曲面其法线向量与z轴正向相反；和其法线向量与z轴正向相同。设由曲面所围空间区域为，则十一、设具有连续的偏导数，且对以任意点为圆心，以任意正数r８为半径的上半圆L：，恒有。证明：（本题8分）证明：记上半圆周L的直径为AB，

6、取AB+L为逆时针方向；又命D为AB+L所包围的区域。由格林公式有其中：为某一点。另一方面。于是有，即。命，两边取极限，得到，由的任意性知；且，即。类似。十二、设函数在[0，1]上连续，且，试证：⑴，使得；⑵，使得。（本题8分）证明：⑴使用反证法，即假设当时，恒有成立，于是有。８因此有，。从而有。于是有，即，这显然与矛盾，故，使得为真。⑵仍然使用反证法。只需证，使得即可。这是显然的，因为若不然，则由在[0，1]上的连续性知，必有或成立，这与矛盾，再由的连续性及⑴的结果，利用介值定理即可证得，使得。８