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1、常微分方程课程总结第一章绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。（2）线性与非线性一般n阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.隐式解：Φ（x,y）=0（4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.）特解：确定了通解中任意常数以后的解.初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题:求微分方程满足初始条件
2、的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。第二章一阶微分方程的初等解法§2.1变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如，称为齐次微分方程，令u＝,即y＝ux，于是＝＋，代入原方程，变形为＋＝（），整理得＝2.形如的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1），方程化为＝，有通解（2）情形，令u＝，这时有＝＝是分离变量方程（3）情形，若不全为零，方程右端分子、分母都是x、y的一次多项式，因此＝0，＝0，交点（，令X＝－，Y＝－，化为，。则原方程变形为＝§2.2线性微分方程与常数变易法（1）一阶线性微
3、分方程，其中在区间上是x的连续函数。若＝0，则变为，称为一阶齐次线性微分方程，若，则称为一阶非齐次线性微分方程。（2）是变量分离方程，解为（c是任意常数）。（3）常数变异法，令，微分之，得到代入原方程得到新方程，解得得到通解（4）伯努利微分方程令，从而，均代入原方程得到,这是线性微分方程。§2.3恰当微分方程与积分因子2.3.1恰当微分方程（1）简单二元函数的全微分：2.3.2积分因子，积分因子。§2.4一阶隐式微分方程与参数表示（1）形如，引入参数，原方程变为，两边对求导，并以代入，得到，这是关于的一阶微分方程（2）形如，引入参数，原方程变为，两边对y求导，并以代入，得到，这是关于的
4、一阶微分方程，设求得通解为，则方程通解为（3）形如F（＝0（4）形如F（＝0第三章一阶微分方程解的存在定理§3.1解的存在性唯一性定理和逐步逼近法1．存在性与唯一性定理：（1）显式一阶微分方程（3.1）这里是在矩形域：（3.2）上连续。定理1：如果函数满足以下条件：1）在上连续：2）在上关于变量满足李普希兹（Lipschitz）条件，即存在常数，使对于上任何一对点，均有不等式成立，则方程（3.1）存在唯一的解，在区间上连续，而且满足初始条件（3.3）其中,称为Lipschitz常数.思路：1）求解初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解。2）构造近似解函数列任取一个连续函数，使得，
5、替代上述积分方程右端的，得到如果，那么是积分方程的解，否则，又用替代积分方程右端的，得到如果，那么是积分方程的解，否则，继续进行，得到（3.4）于是得到函数序列.3）函数序列在区间上一致收敛于，即存在，对(3.4)取极限,得到即.4)是积分方程在上的连续解.命题1设是方程(3.1)定义于区间上,满足初始条件的解,则是积分方程(3.5)的定义于上的连续解.反之亦然.命题2对于所有的，（3.6）中的函数在上有定义，连续且满足不等式（3.6）命题3函数序列在上是一致收敛的.记,命题4是积分方程(3.5)的定义在上的连续解.命题5设是积分方程(3.5)的定义在上的一个连续解,则,.1、近似计算
6、和误差估计求方程近似解的方法——Picard的逐次逼近法对方程的第次近似解和真正解在内的误差估计式（3.7）例1讨论初值问题,解的存在唯一性区间,并求在此区间上与真正解的误差不超过0.05的近似解,其中,.解,由于,根据误差估计式(3.16)可知.于是就是所求的近似解,在区间上,这个解与真正解得误差不超过0.05.§3.2解的延拓2、局部利普希茨条件定义2若函数在区域内连续，且对内每一点，都存在以点为中心，完全含在内的闭矩形域，使得在上关于满足利普希茨条件（对于不同的点，闭矩形域的大小和利普希茨常数可能不同），则称在上关于满足局部利普希茨条件.定理3（延拓定理）如果方程的右端函数在（有
7、界或无界）区域上连续，且在关于满足局部利普希茨条件，则对任意一点，方程以为初值的解均可以向左右延展，直到点任意接近区域的边界.以向增大的一方来说，如果只能延拓到区间上，则当时，趋于区域的边界。推论1对定义在平面区域上的初值问题其中若在区域内连续且关于满足局部Lipschtiz条件,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.推论3如果是无界区域,在上面解的延拓定理的条件下,方程(3.1)通过点的解可以延拓,以向增大(减小)一方的延拓来说,有以下两种情况
