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1、马尔可夫可修系统可修系统的所涉及的有关方面(因素):1.可修系统的可靠性指标:(1).系统首次故障前时间分布;(2).系统可用度(瞬时,稳态,平均,区间等);(3).在中的平均故障次数;(4).系统的平均开工时间与平均停工时间;(5).等等2.系统的构成:(1).系统的可靠性结构(串联系统,并联系统,k-out-of-n系统,等等);(2).修理设备或修理工的数量;(3).组成系统的单元的寿命分布;(4).修理时间的分布;3.维修策略:(1).系统的维修方式与相关假设;(2).维修的策略;(3).备件问题.4.系统的维修性模型:(1)概率模型;(2)统计模型.
2、5.等等.马尔可夫可修系统:用马尔可夫过程描述,讨论和分析的可修系统.一、马尔可夫过程的定义与相关性质:定义:设是取值在或上的一个随机过程.若对任意自然数,及任意个时刻点,均有,其中,.则称为离散状态空间上的连续时间马尔可夫过程.如果,对任意的时刻,均有与无关,则称马尔可夫过程是齐次的(homogeneous).--------转移概率函数;矩阵--------转移概率矩阵(Probabilitytransitionmatrix),其中,为集合中的元素的个数(cardinality).马尔可夫过程的解释:一个过程将来的情况,只与现在有关,而与过去的情况无关.例
3、子1.资金管理(Cashmanagement).Bank:TheLevelofcashinabankatthebeginningofdayis,thenumberofidlingkilodollarsinthesafe.Thecashlevelfluctuatesasarandomwalkduetopolicy.ThenisahomogenousMarkovChain.S自然时间(天)例子2.排对论(QueuingTheory):Arriving一个服务系统,Buffer(waitingroom)Processor(serviceplace)Departure
4、Thenumberofcustomersinthewaitingroomattimetis,whichisahomogeneousMarkovprocess,ifthearrivingisaPoissonprocessandservicerateisaconstant.马尔可夫过程性质:假定:转移概率函数的性质:若令,则有,.另外,齐次马尔可夫过程有如下性质,(1).对有限状态空间的齐次马尔可夫过程,以下极限存在且有限.(2).若记为过程的状态转移时刻,表示第次状态转移后过程访问的状态.若,则为过程在状态的逗留时间.我们有定理:对任有,.与和状态无关.定理的解
5、释:有限状态空间的齐次马尔可夫过程在任何状态的逗留时间服从参数的指数分布,不依赖于下一个要转入的状态.若,状态为稳定状态;若,状态为吸收状态.(3).令中发生状态转移次数,则有,定理:对充分小的,有.(Notethatthesymbolrepresentsafunctiondefinedinaneighborhoodof0forwhich定理的解释:在中的齐次马尔可夫过程发生两次或两次以上转移的概率为,即此概率为无穷小当时间长度非常小时.证明:见曹晋华书p191-192.***************二、马尔可夫可修系统的一般模型:假设:1.可修系统有个状态,
6、令,即状态空间为;2.为时刻该系统处的状态;3.是一个齐次马尔可夫过程.问题:求系统的各种可靠性指标.系统是处于“工作”(upstate)与“不工作”(downstate)的交替状态,见下图.工作不工作工作不工作(一)系统的瞬时可用度(InstantaneousAvailability)定义:(二)系统的稳态可用度定义:,即当时间趋于无穷大时的瞬时可用度.(平均可用度,如果A存在.Limitingaverageavailability)(三)系统的可靠度(四)系统的首次故障前平均时间(Meantimetofirstfailure)(五)系统的故障频度(Freq
7、uencyoffailures)令为(0,t]时间内系统的故障次数,且令(平均故障次数在(0,t]时间内),系统的故障频度(从状态出发)为:系统的故障频度在时刻为,为初始概率.系统稳态故障频度:(六)系统的平均开工时间,平均停工时间和平均周期系统处于稳态的条件下,平均开工时间=;(Meanup-time)平均停工时间;(Meandown-time)平均周期;(Meancycletime)(一)等等下面,我们用例子来说明马尔可夫可修系统的分析步骤与方法例子:可修串联系统假设:1.系统由2单元串联组成;2.第个单元的寿命为,它的分布函数为;3.第个单元的故障后,修
8、理时间为,它的分布函数为;4.第个单元
