片段之十：从一道模拟试题到一道联赛试题.doc

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1、从一道模拟试题到一道联赛试题1问题提出最近我校高三模拟考试有这样一道试题：已知点是抛物线：的焦点，是抛物线在第一象限上的点，且.（1）求点的坐标；（2）以点为圆心的动圆与轴分别相交于、，延长、分别交抛物线于、.（i）判断直线的斜率是否定值，并说明理由；（ii）（略）.原解答如下：（1）由抛物线的定义可得点的坐标为（过程略）.（2）直线的斜率是定值且为，理由如下：设的直线方程为代入得到，利用韦达定理可得，即.由圆的定义可得，则直线、的斜率互为相反数，将上述换成可得，故．翻阅全国各地的模拟及高考试卷

2、，这种题型随处可见，因此有必要对此类题型加以研究．笔者探索出下面的解法，不妨称作“组装构造斜率”法．2解法探究2．1一种新的构造解法罗增儒教授指出：“数学解题无禁区”．针对本题的特征，笔者采用以下解法：无论是以点为圆心的动圆，还是，还是是等腰，或者直线（）与（）的倾斜角互补，或者，或者都是等价的．设直线方程为【恒等变形为】（若与题意矛盾），代入【恒等变形】.2．2组装构造斜率法操作程序设、、，、所在直线的倾斜角互补（已知或结论中隐含条件），即.对于这一类问题，首先将直线与圆锥曲线方程进行代数恒等

3、的变形，即有意识地、主动地配、凑为含有斜率“零部件”（即组装构造斜率），即含有与，然后联立、整理得到关于“零部件”的齐次方程，即.再将上述齐次方程转化为关于斜率“整体”（即组装斜率）的一元二次方程，即（巧妙构造斜率）.最后直接运用韦达定理：两根之和为0，即来解决问题.顺便指出：对于“”类问题，即两根之积为，则.3探究与推广3.1寻找理论依据上面已经推导出直线的斜率是定值，且为.我们由导数容易得到点处切线的斜率为，显然与互为相反数，这是偶然还是必然呢？事实上，这个偶然之中孕育着思维的必然.我们仔细

4、考察图形可得函数，即轴下方图象所表示的函数在区间上连续，在区间内可导，那么在内至少存在一点，使得，此时，即点，其实就是点关于轴的对称点，这就是著名的拉格朗日（Lagrange）中值定理：如果函数在区间上连续，在区间内可导，那么在内至少存在一点，使等式.3.2推广及证明从上述分析过程看出上述模拟试题可以推广到一般情况：推广1：以抛物线（）上一点为圆心的动圆与轴分别相交于、，延长、分别交双曲线于、，则直线的斜率为定值，且.我们知道圆锥曲线的综合问题往往具有“家族现象”，笔者经过探究发现椭圆与双曲线也

5、是如此，即推广2：以椭圆（）上一点为圆心的动圆与轴分别相交于、，延长、分别交椭圆于、，则直线的斜率为定值，且.推广3：以双曲线（，）上一点为圆心的动圆与轴分别相交于、，延长、分别交双曲线于、，则直线的斜率为定值，且.上述三个结论的证明过程与方法类似，以推广3为例：证明：设直线的方程为，将直线与双曲线主动构造斜率“零部件”为；（化简整理）.由题意可得：等腰展开式中项的系数为0，即.我们可以看出上述推理论证过程是可逆的，故上述三个结论的逆命题亦成立，即推广4：点为抛物线（）上一点，弦所在直线的斜率为

6、定值，线段、且分别与轴相交于、，则必存在以点为圆心的动圆经过、（即为等腰三角形）.推广5：点为椭圆（）上一点，弦所在直线的斜率为定值，线段、且分别与轴相交于、，则必存在以点为圆心的动圆经过、（即为等腰三角形）.推广6：点为双曲线（，）上一点，弦所在直线的斜率为定值，线段、且分别与轴相交于、，则必存在以点为圆心的动圆经过、（即为等腰三角形）.4应用作斜率为的直线与椭圆：相交于、，且在直线的左上方.（1）证明的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）（略）.分析：本题就是2011年全国高中数学联赛第11题

7、，注意到，由推广5可得为等腰三角形（、分别是直线、与轴的交点），则的角平分线与轴垂直，故的内切圆的圆心在定直线上（椭圆内的部分）.事实上，象这类问题很多，再如：（2009年辽宁省高考试题）已知椭圆经过点，两个焦点为、.（1）求椭圆的方程；（2）、是椭圆两个动点，若直线、的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.答案：（1）椭圆的方程为.（2）由推广2得.5一点感悟纵观这些年的高考、自主招生乃至竞赛试题中，圆锥曲线综合问题一直是一个重点内容、难点内容，更是热点问题，尤其是定值（定点）

8、问题是命题专家最青睐的聚焦区，已经成为高考、自主招生、竞赛试题中一道独特的风景线.深入研究会发现几乎每一道圆锥曲线综合问题背后都蕴涵着普遍的规律，正是因为这样，命题专家总是从一个看似特殊的数字入手来构建试题，看似偶然的特殊的数字其实背后蕴含着本质与规律，这已经成为命题专家命题风格和惯用的手法.孔子千古名言：“学而不思则罔”，精辟地阐述只学习而不动脑筋思考，就会茫然不解.新课改背景下的教师不仅仅是施教角色，更是学习和研究的角色．对于教师而言，“教而不思则罔”.光解题给学生看而不加以认真总结、分析、