同济版线性代数第六章习题全解.doc

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1、第六章　线性空间与线性变换1．验证:(1)2阶矩阵的全体;(2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体;(3)2阶对称矩阵的全体.对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间，并写出各个空间的一个基．解　（1）设分别为二阶矩阵，则显然，从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间．是的一个基.(2)　设，，.是一个基．(3)设，则，从而,故，所以对于加法和乘数运算构成线性空间.是的一个基.2．验证：与向量不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间．解设，设,，则．但即不是线性空间.3．设是线性空间的一个子空间，试证：若与的维数相等，则.证明　设为

2、的一组基，它可扩充为整个空间的一个基，由于从而也为的一个基，则：对于可以表示为．显然，，故，而由已知知，有．4．设是维线性空间的一个子空间，是的一个基．试证：中存在元素，使,成为的一个基．证明设,则在中必存在一向量，它不能被线性表示，将添加进来，则是线性无关的．若，则命题得证，否则存在则线性无关，依此类推，可找到个线性无关的向量，它们是的一个基．5．在中求向量在基,，下的坐标．解坐标变换公式：故所求为．所求坐标为．6．在取两个基,,试求坐标变换公式．解设，，．其中，，坐标变换公式，现求．所以坐标变换公式为．7．在中取两个基(1)　求由前一个基到后一个基的过渡矩阵;

3、(2)　求向量在后一个基下的坐标;(3)　求在两个基下有相同坐标的向量.解(1)　由题意知从而由前一个基到后一个基的过渡矩阵为(2)　设向量在后一个基下的坐标为则有即，故．(3)由(2)知，解方程组得(为常数)8．说明平面上变换的几何意义，其中(1);　(2);(3);　(4).解(1)即与原向量关于轴对称(2)即将原向量投影到轴上．(3)即与原向量关于直线对称．(4)即将原向量顺时针旋转．9．阶对称矩阵的全体对于矩阵的线性运算构成一个维线性空间.给出阶矩阵，以表示中的任一元素，变换称为合同变换.试证合同变换是中的线性变换．证明设，则=从而，合同变换是中的线性变换

4、．10．函数集合对于函数的线性运算构成3维线性空间，在中取一个基，，求微分运算在这个基下的矩阵.解设易知：线性无关，故为一个基.由知故.即在基下的矩阵为.11．2阶对称矩阵的全体对于矩阵的线性运算构成3维线性空间.在中取一个基，，.在中定义合同变换,求在基下的矩阵.解故从而，在基下的矩阵.