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《同济版线性代数第四章习题全解》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第四章 向量组的线性相关性1．设,求及.解2．设其中,,,求解由整理得3．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组是线性相关的,则可由线性表示.(2)若有不全为0的数使成立,则线性相关,亦线性相关.(3)若只有当全为0时,等式才能成立,则线性无关,亦线性无关.(4)若线性相关,亦线性相关,则有不全为0的数,使同时成立.解(1)设满足线性相关,但不能由线性表示.(2)有不全为零的数使原式可化为17取其中为单位向量,则上式成立,而,均线性相关(3)由(仅当)线性无关取取为线性无关组满足以上条件,但不能说是线性无关的.(
2、4)与题设矛盾.4．设,证明向量组线性相关.证明设有使得则(1)若线性相关,则存在不全为零的数,;;;;由不全为零,知不全为零,即线性相关.(2)若线性无关,则由知此齐次方程存在非零解则线性相关.综合得证.175．设,且向量组线性无关,证明向量组线性无关.证明设则因向量组线性无关,故因为故方程组只有零解则所以线性无关6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1);(2).解(1)所以第1、2、3列构成一个最大无关组.17(2)，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．7．求下列向量组的秩,并求一个最大无
3、关组:(1) ,,;(2) ,,.解 (1) 线性相关.由秩为2,一组最大线性无关组为.(2)秩为2,最大线性无关组为.8．设是一组维向量,已知维单位坐标向量能由它们线性表示,证明线性无关.证明维单位向量线性无关17不妨设:所以 两边取行列式，得由即维向量组所构成矩阵的秩为故线性无关.9．设是一组维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是：任一维向量都可由它们线性表示.证明 设为一组维单位向量，对于任意维向量则有即任一维向量都可由单位向量线性表示.线性无关，且能由单位向量线性表示，即故两边取行列式，得17由令则由即都
4、能由线性表示，因为任一维向量能由单位向量线性表示，故任一维向量都可以由线性表示.已知任一维向量都可由线性表示，则单位向量组：可由线性表示，由8题知线性无关.10．设向量组:的秩为,向量组:的秩向量组:的秩,证明证明设的最大线性无关组分别为,含有的向量个数(秩)分别为,则分别与等价,易知均可由线性表示,则秩()秩(),秩()秩()，即设与中的向量共同构成向量组,则均可由线性表示,即可由线性表示,从而可由线性表示，所以秩()秩(),为阶矩阵，所以秩()即.11.证明.证明:设17且行向量组的最大无关组分别为显然,存在矩阵
5、,使得,因此 12．设向量组能由向量组线性表示为，其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩.证明 若组线性无关令则有由定理知由组:线性无关知，故.又知为阶矩阵则由于向量组:能由向量组:线性表示,则 综上所述知即．若令,其中为实数则有又,则17由于线性无关,所以即（1）由于则(1)式等价于下列方程组:由于所以方程组只有零解.所以线性无关,证毕.13．设问是不是向量空间？为什么？证明集合成为向量空间只需满足条件：若，则若，则是向量空间，因为：17且故故不是向量空间，因为：故故当时，14．试证:由所
6、生成的向量空间就是.证明 设于是故线性无关.由于均为三维,且秩为3,所以为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间就是.15．由所生成的向量空间记作,由所生成的向量空间记作,试证.证明设任取中一向量,可写成,要证,从而得由得17上式中,把看成已知数,把看成未知数有唯一解同理可证:()故16．验证为的一个基,并把用这个基线性表示.解由于即矩阵的秩为3故线性无关，则为的一个基.设，则故设，则故线性表示为17．求下列齐次线性方程组的基础解系:(1)(2)(3).17解 (1)所以原方程组等价于取得取得因此基础解系为(2)所
7、以原方程组等价于取得取得因此基础解系为(3)原方程组即为取得取得取得17所以基础解系为18．设,求一个矩阵,使,且.解 由于,所以可设则由可得,解此非齐次线性方程组可得唯一解， 故所求矩阵．19．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为.解 显然原方程组的通解为17,()即消去得此即所求的齐次线性方程组.20．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它的三个解向量．且，求该方程组的通解．解由于矩阵的秩为3，，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结
8、构性质得为其基础解系向量，故此方程组的通解：，21．设都是阶方阵，且，证明．17证明设的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量．(1)当时,该齐次线性方程组只有零解,故此时,，，结论成立．(2) 当时,该齐次方程组的基础解系中含有个向量,从而的列向量组的秩,即,此时,结论成立。综上,．22．设阶矩阵满足,为阶
