2020_2021学年新教材高中数学第三章函数3.2第1课时函数的零点二次函数的零点及其与对应方程不等式解集之间的关系学案含解析新人教B版必修第一册.doc

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1、3．2　函数与方程、不等式之间的关系第1课时　函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系内　容　标　准学　科　素　养1.体会函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．数学抽象数学运算直观想象2.通过一元二次函数的零点问题解一元二次不等式．3.了解高次不等式的解法.授课提示：对应学生用书第53页[教材提炼]知识点一　函数零点的概念一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．知识点二　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间

2、的关系　函数y＝x2－2x－3y＝x2－2x＋1y＝x2－2x＋3函数的图像方程的实数根x1＝－1，x2＝3x1＝x2＝1无实数根不等式的解集y＞0的解集(－∞，－1)∪(3，＋∞)y＞0的解集(－∞，1)∪(1，＋∞)y＞0的解集Ry＜0的解集(－1,3)y<0的解集∅y<0的解集∅[自主检测]1．函数f(x)＝2020x－2019的零点是(　　)A.　B．2020　　C．－2019　　D.答案：D2．不等式x2－4x＋3＜0的解集为(　　)A．(1,3)B．(－∞，1]∪[3，＋∞)C．(－3，－

3、1)D．(－∞，－3]∪[－1，＋∞)解析：作出函数y＝x2－4x＋3的图像，由图可知选A.答案：A3．已知某函数f(x)的图像如图所示，则函数y＝f(x)的最大零点所在的区间是________(取整数区间，区间长度为1)．解析：在函数f(x)与x轴所有的交点中，最右边的那个交点所对应的横坐标就是函数的最大零点，故此函数的最大零点所在的区间为(6,7)．答案：(6,7)授课提示：对应学生用书第53页探究一　函数的零点[例1]　求函数f(x)＝x3－7x＋6的零点．[解析]　令f(x)＝0，即x3－7x

4、＋6＝0，∴x3－x－(6x－6)＝0，∴x(x－1)(x＋1)－6(x－1)＝0，∴(x－1)(x－2)(x＋3)＝0，解得x1＝1，x2＝2，x3＝－3，∴函数f(x)＝x3－7x＋6的零点是1,2，－3.函数零点的求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图像联系起来，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．若函数f(x)＝x2＋x－a的一个零点是－3，求实数a的值，并求函数f(x)其余的零点．解析：由题意知f(－3)＝0，即(－3)2－3－a＝0，a＝6，

5、∴f(x)＝x2＋x－6.解方程x2＋x－6＝0，得x＝－3或2.∴函数f(x)其余的零点是2.探究二　二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系[例2]　解下列不等式：(1)4x2－4x＋1>0；(2)－x2＋6x－10>0.[解析]　(1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝.作出函数y＝4x2－4x＋1的图像如图．由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，∵Δ＝36－40＝－4<0，∴方程x2－6x＋10＝0无实根，∴原不等式的解集为∅.解一元

6、二次不等式的一般步骤第一步：求函数的零点；第二步：作出函数的图像；第三步：求对应不等式的解集．解下列不等式：(1)－x2＋5x－6>0；(2)3x2＋5x－2≥0.解析：(1)设f(x)＝－x2＋5x－6，令f(x)＝0，得－x2＋5x－6＝0，即(x－2)(x－3)＝0，从而x＝2或x＝3，因此2和3都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(2,0)和(3,0)，又因为函数的图像是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图像，如图①所示，由图可知：不等式的解集为(2,3)．(2)设f(x)＝

7、3x2＋5x－2，令f(x)＝0，得3x2＋5x－2＝0，即(x＋2)＝0，从而x＝－2或x＝，因此－2和都是函数f(x)的零点，从而f(x)的图像与x轴相交于(－2,0)和，又因为函数的图像是开口向上的抛物线，所以可以作出函数图像，如图②所示．由图可知：不等式的解集为(－∞，－2]∪.探究三　高次不等式的解法[例3]　求函数f(x)＝(2x＋1)(x－1)(x－3)的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式f(x)＞0和f(x)≤0的解集．[解析]　函数零点依次为－，1,3.函数的定义域被这三个点分

8、成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示.x(1,3)(3，＋∞)f(x)－＋－＋由此可以画出函数图像的示意图如图所示．由图可知f(x)＞0的解集为∪(3，＋∞)；f(x)≤0的解集为∪[1,3]．数轴穿根法解高次不等式的步骤第一步：通过不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0(注意：一定要保证x前的系数为正数)；第二步：将不等号换成等号解出所有根；第三步：在数轴上从左到右依次标出各根；第四步：画穿根线：以数轴为标准，从最右根的右上方穿过根，往左