2020_2021学年高中数学第三章变化率与导数3.3计算导数学案含解析北师大版选修1_1.doc

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1、3　计算导数授课提示：对应学生用书第35页一、导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．二、常见函数的导数函数导函数函数导函数y＝c(c是常数)y′＝0y＝sinxy′＝cos_xy＝xα(α为实数)y′＝αxα－1y＝cosxy′＝－sin_xy＝ax(a>0，a≠1)y′＝axln_a(a>0)特别地，(ex)′＝exy＝tanxy′＝y＝logax(a>0，a≠1)y′＝特别地，(lnx)′＝y＝cot

2、xy′＝－[疑难提示]“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系(1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量．(2)导函数简称导数，所以导数—个别与一般(3)函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．[想一想]1．(sin)′＝cos＝，正确吗？提示：不正确．因为sin＝是一个常数，所以(sin)′＝0.[练一练]2．曲线f(x)

3、＝xn(n∈N＋)在x＝2处的导数为12，则n等于(　　)A．1　　　　　　　　B．2C．3D．4解析：∵f′(x)＝nxn－1，∴f′(2)＝n·2n－1＝12，∴n＝3.答案：C3．曲线y＝上一点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为__________．解析：易知y′＝′＝－，则－＝－4，解得x＝±，所以点P的坐标为或.答案：或授课提示：对应学生用书第35页探究一　利用导数公式求导数[典例]　求下列函数的导数：(1)y＝π＋1；(2)y＝；(3)y＝x；(4)y＝2x；(5)y＝logx；(6)y＝(sin＋cos)2－1.[解析]　(1

4、)y′＝(π＋1)′＝0.(2)y′＝()′＝(x－2)′＝－2x－3.(3)y′＝(x)′＝(x)′＝x＝.(4)y′＝(2x)′＝2xln2.(5)y′＝(logx)′＝＝－.(6)∵y＝(sin＋cos)2－1＝sin2＋2sin·cos＋cos2－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.基本初等函数的导数公式是我们解决函数导数的基本工具，适当变形，恰当选择公式，准确套用公式是解决此类题目的关键．当记忆不准确时，应作适当推理，证明或用特例检验．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知函数f(x)＝

5、，若f′(a)＝12，则实数a的值为__________．解析：f′(x)＝，若f′(a)＝12，则或，解得a＝或a＝－2.答案：或－22．求下列函数的导数．(1)y＝log3x；(2)y＝；(3)y＝5x.解析：(1)y′＝(log3x)′＝.(2)∵y＝＝＝tanx，∴y′＝(tanx)′＝.(3)y′＝(5x)′＝5xln5.探究二　导数公式的应用—3．(1)求曲线y＝在点B(1,1)处的切线方程；(2)求曲线y＝lnx的斜率等于4的切线方程．解析：(1)∵y′＝()′＝x－，∴k＝y′＝，∴曲线y＝在点B(1,1)处的切线方程为y－1＝

6、(x－1)，即x－2y＋1＝0.(2)∵y′＝，曲线y＝lnx的一条切线的斜率等于4，∴y′＝＝4，得x＝，此时y＝－ln4，∴切点为，∴所求切线方程为y＋ln4＝4，即4x－y－1－ln4＝0.4．已知某运动着的物体运动方程为s(t)＝t5(位移单位：m，时间单位：s)，求t＝3s时物体的瞬时速度．解析：∵s′(t)＝5t4，∴s′(3)＝5×34＝405，即物体在t＝3s时的瞬时速度为405m/s.5．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有相同的切线，求实数a，b，c的值．解析：∵f(x)

7、过点(2,0)，∴f(2)＝2×23＋a×2＝0，解得a＝－8，同理，g(2)＝4b＋c＝0.∵f′(x)＝6x2－8，∴在点P处切线斜率k＝f′(2)＝6×22－8＝16.又g′(x)＝2bx，∴2b×2＝16，∴b＝4，∴c＝－4b＝－16.综上，a＝－8，b＝4，c＝－16.数形结合思想在导数问题中的应用[典例]　已知直线x＋2y－4＝0与抛物线y2＝4x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的上求一点P，使△ABP的面积最大．[解析]　如图所示，因为

8、AB

9、为定值，要使△PAB的面积最大，只要点P到AB的距离最大，只需点P是抛物线的

10、平行于AB的切线的切点即可．设P(x，y)，由图可知，点P在x轴的下方的图像上，所以y＝－2，所以y′＝－，因为kAB＝－，所以－＝－，所以x＝4.由