2020_2021学年高中数学第一章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词学案含解析北师大版选修1_1.doc

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1、3　全称量词与存在量词授课提示：对应学生用书第6页一、全称量词、存在量词与全称命题、特称命题二、特称命题的否定特称命题：存在x0∈M，p(x0)成立，它的否定：任意x∈M，p(x)不成立，特称命题的否定是全称命题．三、全称命题的否定全称命题：任意x∈M，p(x)成立，它的否定：存在x0∈M，p(x0)不成立，全称命题的否定是特称命题．[疑难提示]　省略量词的命题的否定对含有量词的命题，容易知道它是全称命题还是特称命题．一般地，省略了量词的命题是全称命题，可加上“所有的”或“任意”，它的否定是特称命题．[想一想]1．同一个全称命题或特称

2、命题的表述是否唯一？提示：不唯一．对于同一个全称命题或特称命题，由于自然语言不同，可以有不同的表述方法，只要形式正确即可．[练一练]2．下列命题中全称命题的个数是(　　)①任意一个自然数都是正整数；②所有的素数都是奇数；③有的等差数列也是等比数列；④三角形的内角和是180°.A．0　　　　　　　　　B．1C．2D．3解析：命题①②含有全称量词，而命题④可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，故有三个全称命题．答案：D3．已知命题p：对任意x∈R，都有cosx≤1，则命题p的否定为(　　)A．存在x0∈R，使得cosx0≤1B．

3、对任意x∈R，都有cosx>1C．存在x0∈R，使得cosx0>1D．存在x0∈R，使得cosx0≥1解析：根据全称命题的否定，知全称量词改为存在量词，同时把小于等于号改为大于号，故选C.答案：C授课提示：对应学生用书第6页探究一　判断全称命题与特称命题及其真假[典例1]　试判断以下命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假：(1)对任意的x∈R，x2＋2>0；(2)对任意的x∈N，x4≥1；(3)存在x∈Z，x3<1；(4)对任意的x∈R，x2－3x＋2＝0；(5)存在x∈R，x2＋1＝0.[解析]　(1)命题中含有全称量词“任意的”

4、，故该命题为全称命题．对任意的x∈R，x2≥0，所以x2＋2≥2，所以x2＋2>0，所以该命题是真命题．(2)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．因为0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以该命题是假命题．(3)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题．因为－1∈Z，当x＝－1时，能使x3<1，所以该命题是真命题．(4)命题中含有全称量词“任意的”，故该命题为全称命题．因为对于x∈R，只有当x＝2或x＝1时满足x2－3x＋2＝0，所以该命题为假命题．(5)命题中含有存在量词“存在”，故该命题为特称命题．因为不存在一

5、个实数x，使x2＋1＝0成立，所以该命题为假命题．1．要判定命题是全称命题还是特称命题，主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词，要注意的是有些全称命题的叙述中并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．3．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，能找到一个x0使p(x0)成立即可；否则，这个特称命题就是假命题．1．

6、指出下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断真假．(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0.(2)对任意实数x1，x2，若x1

7、sin(x＋T0)

8、＝

9、sinx

10、.解析：(1)是全称命题．∵ax>0(a>0，且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)是全称命题．存在x1＝0，x2＝π，x1

11、是特称命题．y＝

12、sinx

13、是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(4)是真命题．2．判断下列命题的真假，并说明理由：(1)对任意x∈R，都有x2－x＋1>成立；(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cosα－cosβ成立；(3)对任意x，y∈N，都有(x－y)∈N；(4)存在x，y∈Z，使x＋y＝3成立．解析：(1)解法一　当x∈R时，x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞，所以该命题是真命题．解法二　x2－x＋1>⇔x2－x＋>0，由于Δ＝1－4×＝－1<0，所以不等式x2－x＋1>的解集是R，所以该命题是真命题．(2)当α＝，β＝时

14、，cos(α－β)＝cos(－)＝cos(－)＝cos＝，cosα－cosβ＝cos－cos＝－0＝，此时cos(α－β)＝cosα－cosβ，所以该命题是真命题．(3)当x＝2，y＝4时，x－y＝－2∉N，所以该命题是