江苏专用高中数学常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词学案苏教版

江苏专用高中数学常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词学案苏教版

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1、1.3 全称量词与存在量词1.3.1 量词1.3.2 含有一个量词的命题的否定学习目标:1.理解全称量词和存在量词的意义,能准确地利用全称量和存在量词叙述数学内容.(重点) 2.能判定全称命题与存在性命题的真假.(难点) 3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(重点、易混点)[自主预习·探新知]1.全称量词与全称命题(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,通常用符号“∀x”表示“对任意x”.(2)含有全称量词的命题称为全称命题,一般形式为:∀x∈M,p(x).2.存在量词和存在性命题(1)“有一个”

2、、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,通常用符号“∃x”表示“存在x”.(2)含有存在量词的命题称为存在性命题,一般形式为:∃x∈M,p(x).3.全称命题的否定全称命题p﹁p结论∀x∈M,p(x)∃x∈M,﹁p(x)全称命题的否定是存在性命题4.存在性命题的否定存在性命题p﹁p结论∃x∈M,p(x)∀x∈M,﹁p(x)存在性命题的否定是全称命题[基础自测]1.判断正误:(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.(  )(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.(  )(3)全称命题一

3、定含有全称量词,存在性命题一定含有存在量词.(  )(4)∃x∈M,p(x)与∀x∈M,﹁p(x)的真假性相反.(  )【解析】 (1)×.“有些”“某个”“有的”都表示部分,是存在量词.(2)√.由全称量词与存在量词的定义可知(2)正确.(3)×.有些全称命题与存在性命题可能省略量词.(4)√.命题p与其否定﹁p真假性相反.【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)√2.命题“∀x∈R,

4、x

5、+x2≥0”的否定是________.【导学号:95902036】【解析】 原命题为全称命题其否定为“∃x0∈R,

6、x0

7、+x<0”.【答案

8、】 ∃x0∈R,

9、x0

10、+x<0[合作探究·攻重难]用量词表示命题 判断下列命题是否为全称命题或存在性命题,若是,用符号表示.并判断其真假.(1)对任意实数α,有sin2α+cos2α=1;(2)存在一条直线,其斜率不存在;(3)对所有的实数a,b,方程ax+b=0都有唯一解;(4)存在实数x0,使得=2.[思路探究] →【自主解答】 (1)是全称命题,用符号表示为“∀α∈R,sin2x+cos2α=1”,是真命题.(2)是存在性命题,用符号表示为“∃直线l,l的斜率不存在”,是真命题.(3)是全称命题,用符号表示为“∀a,b∈R,方程

11、ax+b=0都有唯一解”,是假命题.(4)是存在性命题,用符号表示为“∃x0∈R,=2”,是假命题.[规律方法] 1.有些命题不是典型的全称命题或存在性命题,却表达了相应的意义,这时可适当引入量词,用量词表示命题,准确体会命题的含义.2.用符号“∀”“∃”表示含有量词的命题时,将存在量词改为“∃”,全称量词改为“∀”,注意必要时需引入字母来表达命题的含义.[跟踪训练]1.用符号“∀”与“∃”表示下列命题:(1)实数的绝对值大于等于0;(2)存在实数对,使两数的平方和小于1;(3)任意的实数a,b,c满足a2+b2+c2≥ab+bc+ac

12、.【导学号:95902037】【解】 (1)∀x∈R,

13、x

14、≥0.(2)∃(x,y)∈R,x2+y2<1.(3)∀a,b,c∈R,a2+b2+c2≥ab+bc+ac.含有量词的命题的真假判断 判断下列命题的真假:(1)若a>0且a≠1,则∃x0∈R,ax0>0;(2)∀x∈R,都有x2-x+1>;(3)∃x0,y0∈N,使x0+y0=3.[思路探究] 结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断.【自主解答】 (1)∵a>0,∴当x=1时,ax=a>0,成立,∴(1)为真命题.(2)∵x2-x+1=+≥>,∴x2-x+1>恒成立

15、,∴(2)是真命题.(3)当x0=0,y0=3时,x0+y0=3满足题意,∴(3)是真命题.[规律方法] 全称命题与存在性命题真假判断的方法:(1)对于全称命题“∀x∈M,p(x)”:①要证明它是真命题,需对集合M中每一个元素x,证明p(x)成立;②要判断它是假命题,只要在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)不成立即可.(通常举反例)(2)存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行,在限定的集合内,看能否找到相应的元素使命题成立,能找到,命题为真,否则为假.[跟踪训练]2.判断下列命题中的真假:(1)∀x∈R,2x-1>0;(2)∀x∈

16、N*,(x-1)2>0;(3)∃x0∈R,lgx0<1;(4)∃x0∈R,tanx0=2.【解】 (1)命题“∀x∈R,2x-1>0”是全称命题,易知2x-1>0恒成立,故是真命题;(2)命题“∀x∈N*,

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