江苏专用高中数学常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词学案苏教版

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1、1.3　全称量词与存在量词1.3.1　量词1.3.2　含有一个量词的命题的否定学习目标：1.理解全称量词和存在量词的意义，能准确地利用全称量和存在量词叙述数学内容．(重点)　2.能判定全称命题与存在性命题的真假．(难点)　3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点、易混点)[自主预习·探新知]1．全称量词与全称命题(1)“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．(2)含有全称量词的命题称为全称命题，一般形式为：∀x∈M，p(x)．2．存在量词和存在性命题(1)“有一个”

2、、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．(2)含有存在量词的命题称为存在性命题，一般形式为：∃x∈M，p(x)．3．全称命题的否定全称命题p﹁p结论∀x∈M，p(x)∃x∈M，﹁p(x)全称命题的否定是存在性命题4.存在性命题的否定存在性命题p﹁p结论∃x∈M，p(x)∀x∈M，﹁p(x)存在性命题的否定是全称命题[基础自测]1．判断正误：(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　　)(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　　)(3)全称命题一

3、定含有全称量词，存在性命题一定含有存在量词．(　　)(4)∃x∈M，p(x)与∀x∈M，﹁p(x)的真假性相反．(　　)【解析】　(1)×.“有些”“某个”“有的”都表示部分，是存在量词．(2)√.由全称量词与存在量词的定义可知(2)正确．(3)×.有些全称命题与存在性命题可能省略量词．(4)√.命题p与其否定﹁p真假性相反．【答案】　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√2．命题“∀x∈R，

4、x

5、＋x2≥0”的否定是________.【导学号：95902036】【解析】　原命题为全称命题其否定为“∃x0∈R，

6、x0

7、＋x<0”．【答案

8、】　∃x0∈R，

9、x0

10、＋x<0[合作探究·攻重难]用量词表示命题　判断下列命题是否为全称命题或存在性命题，若是，用符号表示．并判断其真假．(1)对任意实数α，有sin2α＋cos2α＝1；(2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；(4)存在实数x0，使得＝2.[思路探究]　→【自主解答】　(1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R，sin2x＋cos2α＝1”，是真命题．(2)是存在性命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程

11、ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．(4)是存在性命题，用符号表示为“∃x0∈R，＝2”，是假命题．[规律方法]　1．有些命题不是典型的全称命题或存在性命题，却表达了相应的意义，这时可适当引入量词，用量词表示命题，准确体会命题的含义．2．用符号“∀”“∃”表示含有量词的命题时，将存在量词改为“∃”，全称量词改为“∀”，注意必要时需引入字母来表达命题的含义．[跟踪训练]1．用符号“∀”与“∃”表示下列命题：(1)实数的绝对值大于等于0；(2)存在实数对，使两数的平方和小于1；(3)任意的实数a，b，c满足a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac

12、.【导学号：95902037】【解】　(1)∀x∈R，

13、x

14、≥0.(2)∃(x，y)∈R，x2＋y2＜1.(3)∀a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.含有量词的命题的真假判断　判断下列命题的真假：(1)若a＞0且a≠1，则∃x0∈R，ax0＞0；(2)∀x∈R，都有x2－x＋1>；(3)∃x0，y0∈N，使x0＋y0＝3.[思路探究]　结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断．【自主解答】　(1)∵a>0，∴当x＝1时，ax＝a>0，成立，∴(1)为真命题．(2)∵x2－x＋1＝＋≥>，∴x2－x＋1>恒成立

15、，∴(2)是真命题．(3)当x0＝0，y0＝3时，x0＋y0＝3满足题意，∴(3)是真命题．[规律方法]　全称命题与存在性命题真假判断的方法：(1)对于全称命题“∀x∈M，p(x)”：①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元素x，证明p(x)成立；②要判断它是假命题，只要在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立即可.(通常举反例)(2)存在性命题的真假判断要结合存在量词来进行，在限定的集合内，看能否找到相应的元素使命题成立，能找到，命题为真，否则为假.[跟踪训练]2．判断下列命题中的真假：(1)∀x∈R,2x－1>0；(2)∀x∈

16、N*，(x－1)2>0；(3)∃x0∈R，lgx0<1；(4)∃x0∈R，tanx0＝2.【解】　(1)命题“∀x∈R,2x－1>0”是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；(2)命题“∀x∈N*，