西华大学应用数学系朱雯.ppt

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1、高等数学西华大学应用数学系朱雯伯努利微分方程齐次微分方程一阶线性微分方程第二节一阶微分方程可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法为微分方程的解.分离变量法例1求解微分方程解分离变量两端积分二、齐次方程的微分方程称为齐次方程.2.解法作变量代换代入原式可分离变量的方程1.定义例5求解微分方程微分方程的解为解例6求解微分方程解微分方程的解为利用变量代换求微分方程的解解代入原方程原方程的通解为一阶线性微分方程的标准形式:上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的.三、线性方程例如线性的;非线性的.齐次方程的通解为1.线性齐次方

2、程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)2.线性非齐次方程讨论两边积分非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.作变换积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方程通解非齐次方程特解解例8例9如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程所求曲线为思考题1求微分方程的通解.思考题解答思考题2求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令则有利用公式可求出书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654–1705)瑞士数学家,位数学

3、家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年版了他的巨著《猜度术》,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多1694年他首次给出了直角坐1703年出这是组合数学与概率论史此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.四、伯努利方程伯努利(Bernoulli)方程的标准形式方程为线性微分方程.方程为非线性微分方程.四、伯努利方程解法:需经过变量代换化为线性微分方程.求出通解后，将代入即得代入上式解例10思考与练习判别下列方程类型:提示:可分离变量方程齐次方程线性方程线性方程伯努利方程例11用

4、适当的变量代换解下列微分方程:解所求通解为解分离变量法得所求通解为解代入原式分离变量法得所求通解为另解三、小结2.齐次方程3.线性非齐次方程4.伯努利方程1.可分离变量的微分方程思考题3方程是否为齐次方程?思考题解答方程两边同时对求导:原方程是齐次方程.练习题练习题答案