2020_2021学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布学案含解析新人教A版选修2_3.doc

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1、2．4　正态分布内　容　标　准学　科　素　养1.利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)的概率大小．3.会用正态分布去解决实际问题.通过数据分析提升数学建模数学运算授课提示：对应学生用书第45页[基础认识]知识点一　正态曲线与正态分布知识梳理　1.正态曲线函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数，φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布如果对于任何实数a，b(a＜b)，随

2、机变量X满足P(a＜X≤b)＝φμ，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)，如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．知识点二　正态曲线的性质知识梳理　正态曲线φμ，σ(x)＝e－，x∈R有以下性质：(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线

3、越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图②.知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则知识梳理　P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682_6；P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954_4；P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997_4.由P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.9974，知正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－

4、3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．[自我检测]1．若正态分布密度函数φμ，σ(x)＝e－，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是(　　)A．μ＝3，σ＝2　　　　　　B．μ＝－3，σ＝2C．μ＝3，σ＝D．μ＝－3，σ＝答案：D2．若随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X≤a)＝P(X＞a)，则a的值为(　　)A．0B．μC．－μD．σ答案：B3．已知随机变量X服从正态分布N(2,1)，则P(X≤1)＝________.答案：0.1587授课提示：对应学生用书第46页探究一　正态曲线的图象的应用[阅读教材P74练习1]某地区数

5、学考试的成绩X服从正态分布，其密度曲线如图所示，成绩X位于区间(52,68]的概率是多少？解析：由密度曲线知，均值μ＝60，P(52＜x≤68)＝P(60－8＜x≤60＋8)＝0.6826.[例1]　如图所示是一个正态分布的图象，试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式，求出随机变量总体的均值和方差．[解析]　从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20.由＝，解得σ＝.于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)＝e，x∈(－∞，＋∞)，随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝()2＝2.方法技巧　利用图象求正

6、态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)中便可求出相应的解析式．跟踪探究　1.某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是(　　)A．甲科总体的标准差最小B．丙科总体的平均数最小C．乙科总体的标准差及平均数都居中D．甲、乙、丙总体的平均数不相同解析：本题考查μ，σ的意义以及它们在正态曲线中的作用．由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越矮胖；

7、σ越小，曲线越瘦高，且σ是标准差，故选A.答案：A探究二　利用正态分布的对称性求概率[阅读教材P75习题2.4B组2题]若X～N(5,1)，求P(6＜X＜7)．解析：由题意知μ＝5，σ＝1P(6＜X＜7)＝P(5＜X＜7)－P(5＜X＜6)＝(0.9544－0.6826)＝0.1359.[例2]　设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1＜X≤3)；(2)P(3＜X≤5)；(3)P(X＞5)．[解析]　因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2.(1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.6826.(2

8、)因为P(3＜X≤5)＝P(－3≤X＜－1)，所以P(3＜X≤5)＝[P(－3＜X≤5)－P(－1＜X≤3)]＝[P(1－4＜X≤1＋4)－P(1－2＜X≤1＋2)]＝[P(μ－