第 02 讲 命题与充要条件.doc

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1、第2讲命题与充要条件（第课时）神经网络准确记忆！重点难点好好把握！重点：1．逻辑联结词的含义与真值表；2．四种命题及相互关系；3．反证法。难点：1．等价命题的转换；2．正确使用反证法。考纲要求注意紧扣！1．理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2．理解四种命题及其相互关系；3．掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义；4．掌握反证法证题的步骤和方法。说明：前三项要求文科和理科相同，第四项只对理科有要求。命题预测仅供参考！1．对于逻辑联结词和命题间的关系一般放进具体的数学问题之中进行考察；2．充要条件常以选择题型出现；3．反证法难度不会太大。考点热点一定掌

2、握！1．概念命题：能够判断真假的语句叫命题，例如“对顶角相等”就是一个命题。命题的分类：按命题的正确与否可以分为真命题和假命题（例如数学中的定义、公理、定理、公式都是真命题）；按是否含有逻辑联结词（“或”、“且”、“非”）可以分为简单命题和复合命题。判断命题真假的方法：对于简单命题，可以根据定义、公理、定理、公式、法则来判断其真假；对于复合命题，可以根据真值表（见右表）来判断其真假。“或”、“且”、“非”实际上与集合中的“交”、“并”、“补”是相互呼应的，判断命题的真假可以借助集合的关系来加以理解。非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假2．四种命题原

3、命题：若则；逆命题：若则，把一个命题的条件和结论互换得到一个新命题，则称新命题是原命题的逆命题；否命题：若非则非，把一个命题的条件和结论同时予以否决得到一个新命题，则称新命题是原命题的否命题；逆否命题：若非则非，把否命题的条件和结论互换得到一个新命题，则称新命题是原命题的逆否命题。四种命题之间的关系：原命题与逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假。两个命题同真假也叫做两个命题等价。四种命题是相对的，任何一个命题都可以作为原命题，然后以此为基础得出其他的三种命题。例．如果把“对顶角相等”作为原命题，写出它的其它三种命题。答：逆命题是“相等的角是对顶角”；否命题是

4、“不是对顶角不相等”；逆否命题是“不相等的不是对顶角”。例．如果把“对顶角相等”作为原命题，那么①“对顶角相等”这个命题是正确的，由此根据原命题与逆否命题等价可知，“不相等的不是对顶角。”这个命题一定是正确的。②“相等的角是对顶角”这个命题是错误的，由此根据逆命题与否命题等价可知，“不是对顶角不相等”这个命题一定是错误的。例．逆命题和原命题不一定等价的例。①若a=b=0，则a+b=0。（a、b为实数）②一个四边形只有四个角是直角，才可能是正方形。③若a=b=0，则。（a、b为实数）在①中，有条件a=b=0，就足够推出结论a+b=0，但并不是非得要a=b=0不

5、可，因为当a=-b时，也可以得出结论a+b=0。我们把这样的条件称为充分条件。注意①中使用的是“则”。在②中，要四边形为正方形，非得要条件“四个角是直角”不可，但是即使有了这个条件，四边形也不一定就是正方形，我们把这样的条件称为必要条件。在③中，有条件a=b=0，就足够推出结论。而且要成立，还非要条件a=b=0不可，我们把这样的条件称为充要条件。在这种情况下，也可以说“当且仅当a=b=0时，”或“必须且只须a=b=0时，”。点评：正因为逆命题和原命题不一定等价，所以一个定理不一定有逆定理。在证明问题时不能想当然地就把定理的逆命题拿来用。（若已知定理“若则”的

6、逆命题为“若则”，该逆命题若真，则称其为已知定理的逆定理。）例（2003年高考理科题）．已知，设P：函数在R上单调递减，Q：不等式的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求的取值范围。解：函数在R上单调递减，不等式的解集为，3．反证法反证法就是把结论的反面作为推理的已知条件，引出矛盾，从而肯定结论。如果一个命题的结论中含有“至多”、“至少”、“唯一”等词语，往往使用反证法；证明存在性问题，一般也使用反证法。反证法的具体步骤是：第一步，假设命题的结论不成立；第二步，从假设出发，通过推理得出矛盾；第三步，由茅盾判定假设不成立，从而判定原命题的结论成立。常用的正面

7、叙述词语和它的否定词语如下表：正等于大于小于是所有的任意两个都是任意的至多有一个至少有一个至多有n个反不等于不大于不小于不是某些某两个不都是某个至少有两个一个也没有至少有n+1个在一个题目中，除开使用“当、仅当、当且仅当、必须、只须、必须且只须”之外，还经常使用“或、且、至少、至多、都、不都、都不”。遇到这些词时，要特别小心，不要搞错了它的含义。⑴或当几个命题，例如A、B、C中至少有一个成立，但至多也只有一个成立时，我们说“A成立或B成立或C成立”。例如“实数a或大于零，或等于零，或小于零”。⑵且当几个命题，例如A、B，同时成立时，我们说“A成立且B成立”。

8、例如“实数a大于2且不等于5”。⑶至少例如“当a、b