思科数学第2讲命题及其关系、充要条件

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1、第2讲　命题及其关系、充要条件　　基础梳理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．用集合的观点，看充要条件设集合A＝{x

2、x满

3、足条件p}，B＝{x

4、x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；(3)若A＝B，则p是q的充要条件；(4)若A⃘B，且B⃘A，则p是q的既不充分也不必要条件．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．这就是常说的“正难则反”．双基自测1．(2011·南通调研)命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否

5、命题是________命题(填“真”“假”之一)．解析　否命题为“若实数a满足a＞2，则a2≥4，是真命题．答案　真2．(2011·镇江调研)“x＞1”是“x2＞x”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”之一)．解析　由x2＞x，得x＜0或x＞1，因此由x2＞x推不出x＞1，但由x＞1可推出x2＞x，所以“x＞1”是“x2＞x”的充分不必要条件．答案　充分不必要3．(2011·扬州调研)“α＝”是“sinα＝”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要

6、”“既不充分也不必要”)．解析　由α＝⇒sinα＝sin＝，反之，由sinα＝/⇒α＝.答案　充分不必要4．(2011·盐城调研)已知a，b，c是非零实数，则“a，b，c成等比数列”是“b＝”的________条件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”之一)．解析　当a，b，c成等比数列时，b＝±，而对于非零实数，若b＝，则a，b，c成等比数列．答案　必要不充分5．(2011·宿迁市联考)给出如下四个命题，其中不正确的命题的个数是________．①若“p∧q”为假命题，则p，q均为假命题

7、；②命题“若x≥2且y≥3，则x＋y≥5”的否命题为“若x≥2且y≥3，则x＋y＜5”；③四个实数a，b，c，d依次成等比数列的必要不充分条件是ad＝bc；④在△ABC中，“A＞45°”是“sinA＞”的充分不必要条件．解析　①“p∧q”为假命题，p，q至少有一个为假命题，①不正确．②否命题为“若x＜2或y＜3，则x＋y＜5”，②不正确．③当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc也成立，但a，b，c，d不成等比数列．③正确．④取A＝150°，则A＞45°，但sinA＝＜，④不正确．因此仅有③是真命题．答案　3　　考向一

8、　四种命题及其关系【例1】►设原命题是“当c＞0时，若a＞b，则ac＞bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假．[审题视点]分清命题的条件与结论，再结合不等式的性质判断真假．解　“当c＞0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a＞b，结论是ac＞bc.因此它的逆命题：当c＞0时，若ac＞bc，则a＞b.它是真命题；否命题：当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c＞0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题．在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论

9、，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要判定命题为假命题时只需举反例；对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．【训练1】命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的否命题是________，命题的否定是________．解析　命题“若p则q”的否命题是“若綈p则綈q”，否定是“若p则綈q”．答案　若一个数不是负数，则它的平方不是正数．若一个数是负数，则它的平方不是正数．考向二　充分、必要条件和充要条件的判断【例2】►(2011·天津改编)设集合A＝{x∈R

10、x－2＞0}，B＝{x∈R

11、x＜0}，C＝{x∈R

12、

13、x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的________条件．[审题视点]结合充分条件、必要条件的定义判断所给条件和结论的关系．解析　化简得A＝{x

14、x＞2}，B＝{x

15、x＜0}，C＝{x

16、x＜0，或x＞2}．∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．答案　充分必要条件判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能