不等式的基本性质 及一元二次不等式解法.doc

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1、课题不等式的基本性质及一元二次不等式解法教学内容一、知识梳理与例题解析（一）不等式的基本性质：判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即ab的充分必要条件是a-b0；ab的充分必要条件是a-b0；ab的充分必要条件是a-b0。不等式的三个性质：性质1如果ab，bc，那么ac。性质2如果ab，那么a+cb+c。性质3如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么acbc。性质4如果ab，cd，那么a+cb+d。1．提问：判断以下两个命题的真假：如果是真命题，请说明理由；如果是假命题，请举出反例。（1）如果ab，cd，那么acbd。

2、（2）如果ab0，那么0。[说明]利用已经学过的不等式的性质证明命题的正确性，特别要注意性质（3）的使用前提；对于不正确的命题进行修正，得到不等式的另外两个性质性质（5）如果ab0，cd0，那么acbd。性质（6）如果ab0，那么0。2．探讨不等式在进行乘方，开方运算时具有的性质：性质（7）如果ab0，那么ab（nN）性质（8）如果ab0，那么（nN，n1）。[说明]根据性质（5），由特殊到一般进行归纳得出性质（7）。介绍用反证法证明性质（8），归纳用反证法进行证明的主要步骤。例题分析例1．判断下列命题的真假。（1）若ab，那么acbc。（假命题）（2）若acb

3、c，那么ab。（真命题）（3）若ab，cd，那么a-cb-d。（假命题）（4）若，那么。（假命题）（5）若，那么。（真命题）（6）若，那么。（真命题）例2．（1）比较与的值的大小。（2）比较与的值的大小。（3）比较与的值的大小。解：（1）由-（）=3a，得当时，；当时，=；当时，。（2）由-[]=，当时，=[]；当时，[]。（3）由-=，得。[说明]应用不等式的性质，采用“作差法”比较两数（式）的大小。“比较法”的主要步骤是作差——变形（化简，配方，因式分解）——判断——结论。例3．解关于。解：移项整理得，如果，那么；如果，那么；如果，那么不等式的解集为R。[说

4、明]此题重点强调在解不等式过程中，根据不等式的性质进行分类讨论。巩固练习1．有三个不等式，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成正确命题有几个？2．若。3.设a=,b=－,c=－，则a,b,c的大小顺序是（）Ac

5、一元二次不等式的一般解法，不妨先研究一个简单的一元二次不等式的解法。解法一：原不等式可化为，它等价与将问题转化为我们学过的一元一次不等式组。于是可得到原不等式的解集解法二、利用数轴，－1、3将数轴分成三个部分，-13x当时，所以当时，所以当时，所以可得原不等式的解集还可得到解集为。解法三、利用二次函数图像求此不等式的的解集也可看作求二次函数取正值时的取值范围，即求该二次函数的图像在轴上方时的取值范围。yx0-13我们知道，二次函数的图像是一条开口向上的抛物线，它与轴有两个交点，由方程的解可得交点的横坐标分别是，，容易看出，当时上述函数的图像在轴上方，；当时，上述

6、函数的图像在轴下方，即，于是可得不等式解集为。[说明]解法一中解两个一元一次不等式组中涉及的“或”和“且”的关系可用集合中的交集和并集来说明。解法三利用二次函数的图象更加直观，清晰，是高中阶段解一元二次不等式的主要方法。例1．利用二次函数图像解下列不等式。（1）（2）练习:解下列不等式：（1）2x-3x-20（2）-3x+x+1>0(3)9x+6x+1>0(4)4x-x<5(5)2x+x+10（二）一元二次不等式的解法一般的一元二次不等式可利用一元二次方程与二次函数的有关性质求解，具体见下表：，二次函数的图象一元二次方程的根有两实根有两个相等的实根无实根一元二次

7、不等式的解集不等式的解集R不等式的解集ΦΦ【注意】1．解一元二次不等式的步骤：（1）把二次项的系数变为正的．（如果，那么在不等式两边都乘以，把系数变为正）（2）解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）（3）求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向）2．当且时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边”。1.使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分而不必要条件是（）A.x＜0B.x≥0C.x∈{－1，3，5}D.x≤－或x≥32.（1）求不等式的解集(2)求不等式的解集。3.不等式的解集是()A．B．

8、C．D．4.(1)若不等