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时间:2021-01-30
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1、简介勾股毕达哥拉斯是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称“商高定理”,在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。(毕达哥拉斯发现了这个定理后,即斩了百头牛作庆祝,因此又称“百牛定理”),法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比中国晚,中国是最早发现这一赵爽弦图宝藏的国家。目前初二学生学,教材的证明方法采用赵爽弦图,证明使用青出朱入图。 勾股定理是一个基本的几何定理,它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一,是数形结合的纽带之一。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如
2、果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2。勾股定理指出 直角三角形两直角边(即“勾”“股”短的为勾,长的为股)边长平方和等于斜边(即“弦”)边长的平方。 也就是说设直角三角形两直角边为a和b,斜边为c,那么 a的平方+b的平方=c的平方 a^2+b^2=c^2勾股定理现发现约有500种证明方法,是数学定理中证明方法最多的定理之一。中国古代著名数学家商高说:“若勾三,股四,则弦五。”它被记载在了《九章算术》中。证明方法1(青出朱入图)三角形为直角三角形,以勾a为边的正方形为朱方,以
3、股b为边的正方形为青方。以盈补虚,将朱方、青方并成弦方。依其面积关系有a^2+b^2=c^.由于朱方、青方各有一部分在玄方内,那一部分就不动了。 以勾为边的的正方形为朱方,以股为边的正方形为青方。以盈补虚,只要把图中朱方(a的二次方)的I移至I′,青方的II移至II′,III移至III′,则刚好拼好一个以弦为边长的正方形(C的二次方).由此便可证得a^2+b^2=c^2。证明方法2(达芬奇证法)三张纸片其实是同一张纸,把它撕开重新拼凑之后,中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的,但是面积的表达式却不再相同,让这两个
4、形式不同的表达式相等,就能得出一个新的关系式——勾股定理,所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察纸片一,因为要证的事勾股定理,那么容易知道EB⊥CF,又因为纸片的两边是对称的,所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角,原因嘛,可以看纸片一,连结AD,因为对称的缘故,所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°,那么很明显,图三中角A'和角D'都是直角。 证明: 第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2
5、+OE2+OF·OE 第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D'·D'E' 因为S1=S2 所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E' 又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF 所以OF2+OE2=E'F'2 因为E'F'=EF 所以OF2+OE2=EF2勾股定理得证。证明方法3(Euclid射影定理证法)如图1,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高 通过证明三角形相似则有射影定理如
6、下: (1)(BD)2;=AD·DC, (2)(AB)2;=AD·AC, (3)(BC)2;=CD·AC。 由公式(2)+(3)得:(AB)2;+(BC)2;=AD·AC+CD·AC=(AD+CD)·AC=(AC)2;, 图1即(AB)2;+(BC)2;=(AC)2,这就是勾股定理的结论。证明方法4在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形,其中A为直角。从A点划一直线至对边,使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二,其面积分别与其余两个正方形相
7、等。在正式的证明中,我们需要四个辅助定理如下:如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等,则两三角形全等。(SAS定理)三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积(据辅助定理3)。证明的概念为:把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形,再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。其证明如下:设△ABC为一直角三角形,其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA,依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、C
8、E的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD,形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角,因此C、A和G都是线性对应的,同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角,所以∠ABD等于∠FBC。因为AB和BD分别等于FB和BC,所以△ABD必须相等于△FBC。因为A与K和L是线性对应的,所以四方形BDLK必须二倍面积于
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