勾股定理自编书

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1、简介勾股毕达哥拉斯是余弦定理的一个特例。这个定理在中国又称“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“。（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比中国晚，中国是最早发现这一赵爽弦图宝藏的国家。目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图，证明使用青出朱入图。　　勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。　　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a、b和c分别表示直角三角形的

2、两直角边和斜边，那么a2+b2=c2。勾股定理指出　　直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。　　也就是说设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么　　a的平方+b的平方=c的平方　a^2+b^2=c^2勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。中国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记载在了《九章算术》中。证明方法1（青出朱入图）三角形为直角三角形，以勾a为边的正方形为朱方，以股b为边的正方形为青方。以盈补虚，将朱方、青方并成弦方。依其面积关系

3、有a^2+b^2=c^.由于朱方、青方各有一部分在玄方内，那一部分就不动了。　　以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。以盈补虚，只要把图中朱方（a的二次方）的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形（C的二次方）．由此便可证得a^2+b^2=c^2。证明方法2（达芬奇证法）三张纸片其实是同一张纸，把它撕开重新拼凑之后，中间那个“洞”的面积前后仍然是一样的，但是面积的表达式却不再相同，让这两个形式不同的表达式相等，就能得出一个新的关系式——勾股定理，所有勾股定理的证明方法都有这么个共同点。观察

4、纸片一，因为要证的事勾股定理，那么容易知道EB⊥CF，又因为纸片的两边是对称的，所以能够知道四边形ABOF和CDEO都是正方形。然后需要知道的是角A'和角D'都是直角，原因嘛，可以看纸片一，连结AD，因为对称的缘故，所以∠BAD=∠FAD=∠CDA=∠EDA=45°，那么很明显，图三中角A'和角D'都是直角。　　证明：　　第一张中多边形ABCDEF的面积S1=S正方形ABOF+S正方形CDEO+2S△BCO=OF2+OE2+OF·OE　　第三张中多边形A'B'C'D'E'F'的面积S2=S正方形B'C'E'F'+2△C'D'E'=E'F'2+C'D

5、'·D'E'　　因为S1=S2　　所以OF2+OE2+OF·OE=E'F'2+C'D'·D'E'　　又因为C'D'=CD=OE,D'E'=AF=OF　　所以OF2+OE2=E'F'2　　因为E'F'=EF　　所以OF2+OE2=EF2勾股定理得证。证明方法3（Euclid射影定理证法）如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高　　通过证明三角形相似则有射影定理如下：　　（1）（BD）2;=AD·DC，　　（2）（AB）2;=AD·AC，　　（3）（BC）2;=CD·AC。　　　由公式（2）+（3）得：（AB）2;+（BC）2;=

6、AD·AC+CD·AC=（AD+CD）·AC=（AC）2；，　　图1即（AB）2;+（BC）2;=（AC）2，这就是勾股定理的结论。证明方法4在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。任意一个正方形的面积等于其二边

7、长的乘积。任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。其证明如下：设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G都是线性对应的，同理可证B、A和H。∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。因为

8、AB和BD分别等于FB和BC，所以△ABD必须相等于△FBC。因为A与K和L是线性对应的，所以四方形BDLK必须二倍面积于