一维定态（讲稿）.doc

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1、第二章一维定态问题§2.1一维定态的一般性质§2.2方势阱一、无限深方势阱二、有限深对称方势阱§2.3一维散射问题§2.4d势一、d势阱中的束缚态二、d势垒的穿透（自学）§2.5一维谐振子一、本征方程二、级数解法三、本征值和本征波函数第二章作业教材P80~82：3、4、5、6、12粒子在一维势中运动，不含时薛定格方程为一般分为两类问题：（1）给定，求和―结构问题；（2）给定和，求―散射问题。§2.1一维定态的一般性质共6条性质。性质1、当为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。证明：分能级无简并和有简并两种情况（1）能级无简并对应能级，只有一个独立的本征波函数。设为与对

2、应的本征波函数取复共轭，因，则也是与对应的本征波函数。因无简并，则可取，即可取为实函数。（2）能级有简并对应能级，有两个或两个以上独立的本征波函数。例如，氢原子能级：，波函数：，简并度：设集合为与对应的本征波函数取共轭得集合也是与对应的本征波函数。只要中有一个波函数，例如不是实函数，那么就可用实函数或来取代，最后总能组合成一组实函数。所以，当为实函数时，一维定态波函数可取为实函数。下面一条性质涉及空间反射变换和宇称。空间反射变换：用算符代表空间反射变换本征方程：可以证明为实数。只有当为实数时上述方程才是本征方程。因为按照基本假定，本征值与测量值相对应，而测量值总是实数。

3、宇称（parity）：空间反射变换算符的本征值．宇称的可能取值：空间反射不变的波函数具有正宇称。空间反射变号的波函数具有负宇称。还有一些波函数没有确定的宇称，它们不是空间反射算符的本征态。[思考]证明宇称为实数。[提示]只要证明：性质2、设，即具有空间反射不变性。对于无简并的能级，定态波函数必有确定的宇称。如果能级有简并，则总可以找到一组简并的定态波函数，其中每一个波函数都有确定的宇称。证明：（1）能级无简并设是与能级对应的本征波函数作空间反射变换。因，空间反射不变，则也是与对应的本征波函数。因无简并，则即具有确定的宇称。（2）能级有简并设集合是与能级对应的本征波函数空

4、间反射得集合也是与对应的定态波函数。只要中有一个无确定宇称的波函数，例如，就可用有确定宇称的组合来取代，最后总能组合成一组具有确定宇称的解。总之，若空间反射不变，则无简并的定态波函数必有确定的宇称。对于简并的能级，总可以组合成有确定宇称的一组简并波函数。[例题]对于自由粒子，为实函数，且具有空间反射不变性。的本征值是二度简并的，对应两个独立的定态波函数它们不是实函数，也不具有确定的宇称。但总能组合成一组实的定态波函数它们具有确定宇称性质3、如果和都是与能级对应的本征波函数，则有。而对于束缚态（boundstate，）则为．证明：（1）（2）若和为束缚态，则有性质4、规则

5、的势场（无奇点）中的一维束缚态必定无简并。证明：设和为与能级对应的两个束缚态在和的零点之外的区域，由上式可得能级无简并。[思考]证明：若规则势场为实函数时，则一维束缚态的概率流密度为零。物理上如何理解?性质5、如图所示，束缚态的能量满足条件，其中，代表势能的最小值；而代表势能在外区（包括点）的最小值。证明：（1）成立外区：若，则外区解，显然不是束缚态，因为不满足条件．因此，成立。（2）成立能量是的平均值其中．而这里所以成立。总之，束缚态的能量满足条件．性质6、在点，若连续或发生阶梯形跃变，则波函数的一阶导数连续；若间断且为无限大，则不连续，其连接条件可由在点的性质推导得

6、到。证明：不含时薛定格方程积分且取极限:m在点，若连续或阶梯形跃变在点，连续。m否则，例如对于势阱：在点，不连续。连接条件：．除了波函数的自然条件外，有时还要用到波函数一阶导数的连接条件。性质6表明：在点，若连续或发生阶梯形跃变，则波函数的一阶导数连续；若间断且为无限大，则不连续，其连接条件可由在点的性质推导得到。