2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺19 数列的概念与等差数列（原卷版）.docx

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1、2021届新高考数学备考艺考生百日冲刺专题19数列的概念与等差数列等差数列1、定义：数列若从第二项开始，每一项与前一项的差是同一个常数，则称是等差数列，这个常数称为的公差，通常用表示2、等差数列的通项公式：，此通项公式存在以下几种变形：（1），其中：已知数列中的某项和公差即可求出通项公式（2）：已知等差数列的两项即可求出公差，即项的差除以对应序数的差（3）：已知首项，末项，公差即可计算出项数3、等差中项：如果成等差数列，则称为的等差中项（1）等差中项的性质：若为的等差中项，则有即（2）如果为等差数列，则，均为的等差中项（3）如果为等差数列，则4、等差数列通项公式与函数的关系：，所以该通项公

2、式可看作关于的一次函数，从而可通过函数的角度分析等差数列的性质。5、等差数列前项和公式：，此公式可有以下变形：8/8（1）由可得：，作用：在求等差数列前项和时，不一定必须已知，只需已知序数和为的两项即可（2）由通项公式可得：作用：①这个公式也是计算等差数列前项和的主流公式②，即是关于项数的二次函数，且不含常数项，可记为的形式。从而可将的变化规律图像化。（3）当时，因为而是的中间项，所以此公式体现了奇数项和与中间项的联系当时，即偶数项和与中间两项和的联系6、等差数列前项和的最值问题：此类问题可从两个角度分析，一个角度是从数列中项的符号分析，另一个角度是从前项和公式入手分析题型一、由an与Sn

3、的关系求通项an知识点拨：由数列{an}的前n项和Sn，求通项an的问题，要分成两段：an＝不要遗漏n＝1的情形．因题(2)含字母b，首项是否满足，8/8还需要对b进行分类讨论．本题侧重考查分类讨论的数学思想．例1、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知数列中，，其前项和满足，则__________；__________.变式1、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.求数列的通项公式；变式2、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知各项均为正数的数列的前项和为，且，（，且）求数列的通项公式；变式3、【2020届江苏省海安中学、金陵中学、新海高级中学高三12月联

4、考】设为数列的前n项和，若（），且，则的值为______.题型二、等差数列中基本量的运算知识点拨：a1，d是等差数列的基本量，把所给的条件代入等差数列的通项公式，可列出方程组，如果能把a1－1作为一个整体处理，则能简化运算．一般地，给出含有a1，d的两个独立条件，即可求出该等差数列的通项公式，进而求出其前n项和．8/8例2、【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则A．B．C．D．变式1、【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为___________．变式2、【2020届江苏

5、省南通市如皋中学高三下学期3月线上模拟】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的通项公式_______变式3、【2018年高考全国II卷理数】记为等差数列的前项和，已知，．（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值．题型三、等差数列的性质知识点拨：如果{an}为等差数列，m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)．因此，若出现am－n，am，am＋n等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项8/8)有关的条件；若求am项，可由am＝(am－n＋am＋n)转化为求am－n，am＋n或am－n＋an＋m的值．例3、（2020届北京市昌平区新学道临川学校上学期

6、期中）已知等差数列的前项之和为，前项和为，则它的前项的和为（）A.B.C.D.变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知等差数列的前n项和为，且，，则（）A．B．1C．D．2变式2、【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块题型四、等差数列的判定

7、及证明8/8知识点拨：欲证一个数列是等差数列，根据定义，即证bn＋1－bn为常数．目标明确了，下面还需要推理正确；欲求数列的前n项和Sn，可先求通项，再判断为何数列；如果知道了具体的等差或等比数列，只需要求出两个基本量——首项、公差(或公比)，再代入Sn公式即可．例4、（2020苏州期末）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2（an﹣a）（其中a为常数），则下列说法正确的是（　　）A．数列{an}一定是等比数列B．