赵树源线性代数习题四(B)题目和答案.doc

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1、第四章矩阵的特征值习题四(B)1．三阶矩阵的特征值为－2，1，3，则下列矩阵中非奇异矩阵是[]。【解】应选择答案。因为：由已知及特征值定义，的特征方程的根为－2，1，3，应有，即有，知为奇异矩阵；由知为奇异矩阵；，知为奇异矩阵；而三阶矩阵只能有三个特征值，故2不可能是的特征值，从而，即为非奇异矩阵。2．设是可逆矩阵的一个特征值，则矩阵必有一个特征值为[]。【解】应选择答案。因为：是矩阵的一个特征值，即有，于是，亦即，对上式两端左乘，得，亦即，整理得，这说明是矩阵的一个特征值。3．设，都是阶矩阵的特征值，，且与分别是的对应于与第四章矩阵的特征值习题四(

2、B)的特征向量，则[]。且时，必是的特征向量且时，必是的特征向量时，必是的特征向量而时，必是的特征向量【解】应选择答案。因为：当且时，为零向量，不可成为任一阶矩阵的特征向量；反设是的特征向量，对应的特征值为，于是有,亦即为，由定理4.3，不同特征值对应的特征向量线性无关，由上式应有，而题设且，于是只能有，亦即为，但这与题设相矛盾，从而且时，不可能是的特征向量；当时，有可能与同时为0，因为此时为零向量，所以“必”是的特征向量的说法是错误的；综上知，正确。事实上：当而时，，而已知是的对应于的特征向量，即有，知此时是的对应于的特征向量。第四章矩阵的特征值习

3、题四(B)4．与矩阵相似的矩阵是[]。【解】应选择答案。因为：设各选项矩阵分别为，，，，则由于与，，，都是对角矩阵，因此它们的特征值都是其主对角线上的元素，即都是，，按定理4.7，只要看，，，是否满足：对每一个重特征值，成立者即与相似，即：对于，有，而由，得，有，即由定理4.7，不与矩阵相似。对于，有，而由，得，成立，即由定理4.7，不与矩阵相似。对于，有，而由，得，成立，第四章矩阵的特征值习题四(B)又对于，有，而由，得，成立，综上，由定理4.7，与矩阵相似。对于，有，而由，得，有；由定理4.7，不与矩阵相似。5．矩阵与相似的充分必要条件是[]。与

4、有相同的特征多项式阶矩阵与有相同的特征值且个特征值互不相同【解】应选择答案。因为：是与相似的充分但不必要条件。如与矩阵有，但由上面4题知，与不相似。是与相似的充分但不必要条件。如与矩阵第四章矩阵的特征值习题四(B)有，但由上面4题知，与不相似。与有相同的特征多项式，是与相似的充分但不必要条件。如与矩阵具有相同的特征多项式，但由上面4题知，与不相似。矩阵与相似的充分必要条件是“阶矩阵与有相同的特征值且个特征值互不相同”。这是定理4.6的推论。6．设，为阶矩阵，且与相似，则[]。与有相同的特征值和特征向量与都相似于一个对角矩阵对任意常数，与相似【解】应选

5、择答案。因为：～时，不一定有。如～，但，，对比可见。与相似，由定义4.3，有可逆阵，使，亦即，第四章矩阵的特征值习题四(B)由定理4.5，与相似则有相同的特征值。于是可设与有相同的特征值，并设对应于的特征向量为，即应有，于是在等号两端左乘，得，由于本小题的第一步所得的，上式因此变化为，这说明对应于的特征向量为，而与未必相等，即说明与对应于相同的特征值未必有相同的特征向量。由课本P183页末知，与约当矩阵相似，而由课本P180页末又知，不存在相似的对角矩阵，因此，与相似，则与都相似于一个对角矩阵的判断未必正确。综上知，正确。事实上：由于与相似，由定义4

6、.3，有可逆阵，使，于是，对任意常数，亦即为，由定义4.3，这说明与相似。7．设三阶矩阵有三个线性无关的特征向量，则[]。【解】应选择答案。因为：第四章矩阵的特征值习题四(B)由，得的特征值，，由定理4.6，有三个线性无关特征向量的三阶矩阵必与对角矩阵相似，从而由定理4.7，对于2重特征值，由于，应有，而由于，即应有。8．设矩阵与相似，其中，已知矩阵有特征值1，2，3，则[]。【解】应选择答案。因为：题设，由定理4.5知，与有相同的特征值1，2，3，再由定理4.4，的所有特征值之和等于的主对角线上元素之和，即有解之得。9．下述结论中，不正确的是[]。

7、若向量与正交，则对任意实数，，与也正交若向量与向量，都正交，则与，的任一线性组合也正交若向量与正交，则，中至少有一个是零向量若向量与任意同维向量正交，则是零向量【解】应选择答案。因为：第四章矩阵的特征值习题四(B)若向量与正交，由定义4.7，成立，于是，对任意实数，，有，即由定义4.7知，与也正交。命题正确而非不正确。若向量与向量，都正交，由定义4.7，成立，，于是，对，的任一线性组合，成立，由定义4.7知，与，的任一线性组合也正交。命题正确而非不正确。若向量与正交，由于正交定义4.7并未指定与是否为零向量，因此本命题肯定说正交向量，中至少有一个是零

8、向量不正确。事实上，当，中至少有一个是零向量时，必成立，而当，中都不是零向量时，仍可能成立，如而时，它们都不