苏教版(文科数学)平摆线与圆的渐开线单元测试.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2019届苏教版（文科数学）平摆线与圆的渐开线单元测试(十三)x＝t－sint，1．求平摆线(0≤t＜2π)与直线y＝1的交点的直角坐标．y＝1－cost【解】由题意知，y＝1－cost＝1，∴cost＝0，∴sint＝1，∴t＝2kπ＋π2(k∈Z)，又∵0≤t＜2π，∴t＝ππ∴＝－1.2.x2π∴交点的直角坐标为(2－1,1)．x＝rcosφ＋φsinφ，2．已知圆的渐开线(φ为参数，0≤φ＜2π)上有一点y＝rsinφ－φcosφ的

2、坐标为(3,0)，求渐开线对应的基圆的面积．3＝rcosφ＋φsinφ，【解】把已知点(3,0)代入参数方程得0＝rsinφ－φcosφ，解得φ＝0，所以基圆的面积S＝πr2＝π×32＝9π.r＝3.3．已知摆线的生成圆的直径为80mm，写出摆线的参数方程，并求其一拱的拱宽和拱高．【解】因为摆线的生成圆的半径r＝40mm，所以此摆线的参数方程为x＝40t－sint，y＝401－cost.它一拱的拱宽为2πr＝2π×40＝80π(mm)，拱高为2r＝2×40＝80(mm)．4．抛物线y2－2x－6ysinθ－9cos2θ＋8cosθ＋

3、9＝0，求顶点的轨迹的普通方程．1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【解】抛物线方程可化为(y－3sinθ)2＝2(x－4cosθ)，所以其顶点的参数方程为x＝4cosθ，22普通方程为x＋y＝1.y＝3sinθ，1695．已知椭圆x＝5cosθ，(θ为参数)，F1、F2是椭圆的左、右焦点，P为椭y＝4sinθ圆上不在x轴上的一点，求△PF1F2的重心G的轨迹方程．【解】F1－3,0)、2，设P(5cosθ，4sinθ、G(x，y)，所以G的轨迹(F(3,0))x＝5cos

4、θ3，方程为(θ为参数，sinθ≠0)．4sinθy＝3．如图4-4-9，已知半圆2＋y2＝1(y≥0)，定点A(－2,0)，设B为圆上一动6x点，以AB为一边在上半平面内作正方形ABCD，设P为正方形ABCD的中心，求点P的轨迹方程，并指出它是什么曲线．【导学号：98990040】图4-4-9【解】设轨迹上任意一点为P(x，y)，又设D(x0，y0)，∠xOB＝θ(0≤θ≤π)，→→．由→→则B(cosθ，sinθ)，AB＝(cosθ＋2，sinθ)，AD＝(x0＋2，y0)⊥AD且AB→→

5、AB

6、＝

7、AD

8、，cosθ＋20＋2＋

9、y0sinθ＝，x0得2222.cosθ＋2＋sinθ＝x0＋2＋y0x0＝－sinθ－2，解得y0＝cosθ＋2.因为P是BD的中点，所以2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯cosθ－sinθ－22πx＝2＝2cosθ＋4－1，(0≤θ≤π)．消去θ，得点P的轨cosθ＋sinθ＋22πy＝2＝2sinθ＋4＋122＝1－2＋2112＋2，它表示以－迹方程是(x＋1)＋(y－1)2(2≤x≤－，≤y≤2)1,1)22(2为圆心，2为半径的半圆的一部分．7．如图4-4-10

10、所示，开始时定点M在原点O处，取圆滚动时转过的角度α(以弧度为单位)为参数．求半径为2的圆的摆线的参数方程．图4-4-10【解】当圆滚过α角时，圆心为点B，圆与x轴的切点为A，定点M的位置如题图所示，∠ABM＝α.由于圆在滚动时不滑动，因此线段OA的长和圆弧的长相等，它们的长都等于2α，从而B点坐标为(2α，2)，→→α，2cosα)，向量OB＝(2α，2)，向量MB＝(2sin→α，－2cosα)，BM＝(－2sin→→→因此OM＝OB＋BM＝(2α－2sinα，2－2cosα)＝(2(α－sinα)，2(1－cosα))．→动点

11、M的坐标为(x，y)，向量OM＝(x，y)，x＝2α－sinα，所以y＝21－cosα.这就是所求摆线的参数方程．[能力提升]8．求半径为4的圆的渐开线的参数方程．3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯【解】以圆心为原点O，绳端点的初始位置为→M0，向量OM0的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为，故⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记→和x轴AOAOA正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则AM＝＝4θ.作AB垂直于x

12、轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得→OA＝(4cosθ，4sinθ)．由几何知识知∠MAB＝θ，→AM＝(4θsinθ，－4θcosθ)，→→→得OM＝OA＋AM＝(4cosθ＋4θsinθ，4sinθ－4θcosθ)＝