高中数学《合情推理与演绎推理》文字素材1新人教A版选修2-2.docx

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1、剖析演绎推理证明的几种常见错误1.偷换论题例1求证四边形的内角和等于3600。证明：设四边形ABCD是矩形，则它的四个角都是直角，有ABCD9009009009003600，所以，四边形的内角和等于3600。剖析：上述推理过程是错误的。犯了偷换论题的错误。在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形。2.虚假论据例2已知2和3是无理数，试证23也是无理数。证明：依题设2和3是无理数，而无理数与无理数的和是无理数，所以23也是无理数。剖析：上述推理过程是错误的。犯了虚假论据的错误。使用的论据是：“无理数

2、与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数。因此，原题的真假性仍无法断定。3.循环论证例3在RtABC中，C900求证：a2b2c2。证明：因为acsinA,bccosA，a2b2c2sin2Ac2cos2A=c2(sin2Acos2A)c2。剖析：上述推理过程是错误的。犯了循环论证的错误。本题的论证就是人们熟知的勾股定理。上述证明中用了“sin2Acos2A1”这个公式，按照现行中学教材系统，这个公式是由勾股定理推出来的，这就间接地用待证命题的真实性作为证明的论据

3、，犯了循环论证的错误。4.不能推出用心爱心专心1例4设、、（0，），且tan1，tan112，tan。258求证：。4证明：因为tan()tantantantantantan1tantantantantantan111111=2582581，11111115585824。剖析：上述推理过程是错误的。犯了不能推出的错误。因为tan()1只能推出n,(nZ)。至于关系式4是否唯一地成立，却无43法断定。因此，只有进一步推出0,,，即0，原题才能得44证。演绎推理的三种类型“特殊性存在于一般性之中”这

4、个哲学原理道出了演绎推理的实质；其实，我们学习的演绎推理实际上就是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。显然，只要一般性原理正确，推理形式不出错误，那么由此产生的结论一定正确；这也正是我们证明数学结论、建立数学体系的重要的思维过程；具体到一个数学问题，我们使用演绎推理时，常常表现为下述三种情况，这里向你介绍，也许对你深入理解演绎推理会有所帮助。1、显性三段论在证明过程中，可以较清楚的看出“大前提”、“小前提”、“结论”；结合演绎推理我们可以知道结果是正确的。也是演绎推理最为简单的应用。2

5、用心爱心专心ab例1、当a,b为正数时，求证：ab2证明：因为一个实数的平方是非负数而abab(ab)2是一个实数的平方，222所以abab是非负数，即abab022所以，abab2评析：在这个问题的证明中，三段论是很显然的；大前提：“一个实数的平方是非负数”，小前提：“abab是一个实数的平方”，结论：“abab是非负数”，从22而产生最后结果；由于大前提是人所共知的真理，推理形式正确，因而，结论正确。2、隐性三段论三段论在证明或推理过程中，不一定都是清晰的；特别是大前提，有一些是我们早已熟悉

6、的定理、性质、定义，对这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需要再重新指出；因此，就会出现隐性三段论。例2、判断函数f(x)1x2x1x2的奇偶性1x1解：由于xR且f(x)1x2x11x2x12xx2x21f(x)f(x)f(x)1x11x12x故函数为奇函数评析：在这个推理过程中，好似未用到演绎推理的三段论，其实不然，用了；只是大前提“若函数f(x)是奇函数，则f(x)f(x)；若函数f(x)是偶函数，则f(x)f(x)”是大家熟悉的定义，在推理过程中省略了。这是演绎推理三段论

7、的又一表现形式。3、复式三段论一个复杂问题的证明或推理，往往不是一次三段论就可以解决的，在证或推的过程中要多次使用三段论，从一个熟悉的大前提出发，产生一个结论；而这个结论又是下一步的大前提，依次递推下去，最终产生结论，这就是所谓的复式三段论。可以看出我们现在遇到的证明或推理的过程，基本上都是复式三段论。用心爱心专心3例3、若数列an的前n项和为snn(a1an)，求证：数列an为等差数列。2证明：由ansnsn1ann(a1an)(n1)(a1an1)ana1n122an1a1n2因此ana1(

8、a2a3a1a4a1ana1(a2a1)23n1a1)a1a3a1an1a112n2a2ana1(n1)(a2a1)anan1a2a1故数列an为等差数列评析：本题的论证共有三层，即三次使用演绎推理，请看第一层，大前提“若sn是数列an的前n项和，则ansnsn1”；小前提“数列an的前n项和为snn(a1an)n(a1an)(n1)(a1an1)2，则an22”；结论ana1n1”；“an1a1n2第二层，大前提“对于非零数列an，则有ana1(a2)an)”；小前提“满a1(an1足ana1