高中数学竞赛标准讲义：第五章：数列新人教A版.docx

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1、第五章数列一、基知定1数列，按序出的一列数，例如1，2，3，⋯，n，⋯.数列分有数列和无数列两种，数列{an}的一般形式通常作a1,a2,a3,⋯，an或a1,a2,a3,⋯，an⋯。其中a1叫做数列的首，an是关于n的具体表达式，称数列的通。定理1若Sn表示{an}的前n和，S1=a1,当n>1，an=Sn-Sn-1.定2等差数列，如果任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），{an}称等差数列，d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列，即2b=a+c，称b为a和c的等差中，若公差d,则a=b-d,c=b+d.定理2等差数列的性：1）通公式an=a1+(n-1)d；2）前n和公式：n(

2、a1an)n(n1)Sn=na1d；3）an-am=(n-m)d，其中n,m正整数；4）若n+m=p+q，22则an+am=ap+aq；5）任意正整数p,q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不零，{an}是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定3等比数列，若任意的正整数n，都有an1q，{an}称等比数列，q叫做公比。an定理3等比数列的性：1）an=a1qn-1；2）前n和Sn，当qa1(1qn)1，Sn=；当q=121q0)，b叫做a,c的等比中；4）若，Sn=na1；3）如果a,b,c成等比数列，即b=ac(bm+n=p+q，aman=apaq。定4极

3、限，定数列{an}和数A，若任意的>0，存在M，任意的n>M(n∈N),都有

4、an-A

5、<，称A为n→+∞数列{an}的极限，作limanA.n定5无等比数列，若等比数列{an}的公比q足

6、q

7、<1，称之无增等比数列，a1（由极限的定可得）。其前n和Sn的极限（即其所有的和）1q定理3第一数学法：定命p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立能推出p(n)对n=k+1成立，由（1），（2）可得命p(n)一切自然数n≥n0成立。常用定理定理4第二数学法：定命p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)一切n≤k的自然数n都成立（k≥n0）可推出p(k+1)成立，由（

8、1），（2）可得命p(n)一切自然数n≥n0成立。定理5于次二性数列xn=axn-1+bxn-2，它的特征方程x2=ax+b的两个根α,β:(1)若αβ，xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1,c2由初始条件x1,x2的确定；(2)若α=β，xn=(c1n+c2)αn-1，其中c1,c2的由x1,x2的确定。二、方法与例1．不完全法。种方法是从特殊情况出去更一般的律，当然未必都是正确的，但却是人探索未知世界的普遍方式。通常解方式：特殊→猜想→数学法明。例1出以下几个数列的通（不要求明）；1）0，3，8，15，24，35，⋯；2）1，5，19，65，⋯；3）-1，0，3，8，15，⋯。nn2

9、【解】1）an=n2-1；2）an=3-2；3）an=n-2n.例2已知数列{an}足a1=1,a1+a2+⋯+an=n2an,n≥1，求通an.2用心爱心专心【解】因a1=12,又a1+a2=22·a2,所以a2=1，a3=aa21,猜想an1323213(n≥1).4n(n1)1，猜想正确。2）假当n≤k猜想成立。明；1）当n=1，a1=12a1+a1+⋯+a1=[(k+1)2-1]ak+1,，当n=k+1，由假及，所以111=k(k+2)a2132k(k1)k+1,即111111=k(k+2)ak+1,223kk1所以k=k(k+2)ak+1,所以ak+1=1.k1(k1)(k2)1

10、由数学法可得猜想成立，所以an.n(n1)例3设01.an【明】明更的：1

11、n0.【明】a2pan1·an+1+qa2an2(pan+1n+2qa21=an+2·(-qanqa2n1n1+a)+n)+n1=q(an21anan2)q[an21+an(pqn+1+qan)]=q(an21pan1anqan2).若a22pa2a1qa12=0，任意n,an21pan1an+qan2=0，取c=0即可.若222222a2pa2a1qa10{an1pan1an+qan}是首a2p