2011高中数学竞赛标准讲义：第五章：数列

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1、2010高中数学竞赛标准讲义：第五章：数列一、基础知识定义1数列，按顺序给出的一列数，例如1,2,3,…，弘….数列分有穷数列和无穷数列两种，数列⑺”｝的一般形式通常记作。3,…，Q”或Q],d2,Q3,…，Q”…。其中Qi叫做数列的首项，如是关于斤的具体表达式，称为数列的通项。定理1若S”表示｛外｝的前斤项和，则Si=ai,当Q1时，a„=Sn-Sn.i.定义2等差数列，如果对任意的正整数弘都有an+i-an=d(常数)，则｛划｝称为等差数列，d叫做公差。若三个数a,b,c成等差数列，即2b=a+c,则称方为a和c的等差屮项，若公差为d,则a=b-d,

2、c=b+d.定理2等差数列的性质：1)通项公式^=6/l+(«-l)d；2)前〃项和公式：S”=""务+Q")=+~~d；3)g广Qm=S・m)d,其中〃，m为正整数；4)若n+m=p+q,则an+am=ap+a(l；5)对任意正整数p,g,恒有ap-aq=(j)-q)｛a2-a)6)若A,B至少有一个不为零,则仏｝是等差数列的充要条件是Sn=An2+Bn.定义3等比数列，若对任意的正整数弘都有啦则｛如称为等比数列，g叫做公比。定理3等比数列的性质:1)an=a[qnA；2)前〃项和S”当少1时,s/(“)；当冃1-q时，Sn=na；3)如果a,b

3、,c成等比数列,即b2=ac(b^0),则b叫做a,c的等比中项;4)若m+n=p+q,贝U。【虫“二如创。定义4极限，给定数列｛切｝和实数A,若对任意的£>0,存在M,对任意的77>MSWN),都有an-A

4、则由(1),(2)可得命题”(")对一切自然数n^no成立。竞赛常用定理定理4第二数学归纳法：给定命题p(n),若：(1)〃So)成立；(2)当”02)对一切nWk的自然数兀都成立时(£勿0)可推出p(k+1)成立，则由(1),(2)可得命题p(M)对一切自然数n^no成立。定理5对于齐次二阶线性递归数列xn=axn.｝+hxn.29设它的特征方程x2=ax+h的两个根为a,B：(l)若a#B，则“6严+C2B—其中Ci,C2由初始条件兀1,恋的值确定；(2)若a二B,则XM=(C]H+C2)其中Cl,C2的值由兀1,兀2的值确定。二、方法与例题1.不完

5、全归纳法。这种方法是从特殊情况岀发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊一猜想一数学归纳法证明。例1试给出以下儿个数列的通项(不要求证明)；1)0,3,8,15,24,35,…；2)1,5,19,65,…；3)-1,0,3,8,15,…。【解】1)an=U2-;2)an=3n-2n；3)an=n2-2n.例2已知数列｛如满足吨，卄+・・・+心％,心，求通项％【解】因为吨，又屮心・如d]+a232-1而，猜叽证明；I)当〃=1时，如=丄，猜想正确。2)假设当“Wk时猜想成立。2x1当n=k+in

6、J-,由归纳假设及题设，d

7、+d]+・・・+d

8、二[伙+1)匚1]如1,,所以111—、1=k(k+2)cik+i、2x13x2kx(k+)即1--+---+•••+-——=k(k+2)az223kk+所以77T檢+2)如，所以如二伙+1)伙+2)由数学归纳法可得猜想成立，所以色=—;—.n(n+1)例3设Ovxl,数列｛如｝满足an=l+a9an.=a+—,求证：对任意“WN+,有an>1.【证明】证明更强的结论：1v為W1+弘1)当n=l时,lVd]=l+a,①式成立；2)假设〃=£时,①式成立,即1vq”W1+q,则当n=k+1时，有11l+

9、d+d~1+di+a>ak+i=a>a=>=1.ak1+d1+a1+d由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。1.迭代法。数列的通项知或前n项和S”中的n通常是对任意nWN成立，因此可将其小的换成n+或等，这种办法通常称迭代或递推。例4数列｛如满足an+pan.+qan.2=09n>3,qhO,求证：存在常数c,使得盗+i+皿“+1°+cq"=0.【证明】盗+i+Pan+l*Q”+l+9孟+1=an+2伽+1+為+2)+*；+i=Q”+2*(・*”)+qd£=一0/“+2)=+^n(pqn++qan)]=q(a^+panUan+%；)・若a}+p

10、a2a^+石=0,则对任意〃，a^+1+pan+ian+qa^=Q9取c=0即可