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1、PT的斜率PPn的斜率§2导数的概念及其几何意义2.2导数的几何意义教学目标：1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：导数的几何意义．教学过程：一．创设情景（一）平均变化率、割线的斜率（二）瞬时速度、导数我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，反映了函数y=f(x)在x=x0附近的变化情况，导数f(x0)的几何意义是什么呢？二．新课讲授（一）曲线的切线及
2、切线的斜率：如图，当Pn(xn,f(xn))(n1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？我们发现,当点个确定位置的直线问题：⑴割线⑵切线Pn沿着曲线无限接近点P即x→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这PT称为曲线在点P处的切线.kn与切线PT的斜率k有什么关系？k为多少？容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，xnx0kn无限趋近于切线PT的斜率k，即kf(x0x)f(x0)limxf(x0)x0说明：（1）设切线的倾斜角为α,那
3、么当x→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数.（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.（二）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0,f(x0))处的切线的斜率，即f(x0)limf(x0x)f(x0)kx0x说
4、明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标；②求出函数在点x0处的变化率f(x0)limf(x0x)f(x0)k，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率；x0x③利用点斜式求切线方程.三．典例分析例1:（1）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.（2）求函数y=3x2在点(1,3)处的导数.解：（1）y
5、x1lim[(1x)21](121)lim2xx22,x0xx0x所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为y22(x1)即2xy0（2）因为y
6、x1lim3x2312lim3(x212
7、)lim3(x1)6x1x1x1x1x1所以，所求切线的斜率为6，因此，所求的切线方程为y36(x1)即6xy30（2）求函数f(x)=x2x在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：y(1x)2(1x)23xxxx)2f(1)limy(1(1x)2lim(3x)3xxVx0Vx0例2．如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x26.5x10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．
8、（1）当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降．（2）当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率h(t1)0，所以，在tt1附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt1附近单调递减．（3）当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率h(t2)0，所以，在tt2附近曲线下降，即函数h(x)4.9x26.5x10在tt2附近单调递减．从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢．四．课堂练
9、习1．求曲线y=f(x)=x3在点(1,1)处的切线；2．求曲线yx在点(4,2)处的切线．五．回顾总结1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义六．布置作业
