资源描述：
《一元二次方程整数根问题的十二种思维策略.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级__________姓名__________1.利用判别式例1.（2000年黑龙江中考题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx24x40与x24mx4m24m50的根都是整数。解：∵方程mx24x40有整数根，∴⊿=16-16m≥0，得m≤1又∵方程x24mx4m24m50有整数根224m5)0得m5∴16m4(4m4综上所述，－5≤m≤14∴x可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x2-4x+4=0没有整数解，舍去。而m≠0
2、∴m=1例2．（1996年四川竞赛题）已知方程x2mxm10有两个不相等的正整数根，求m的值。解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=－(x1+x2)为负整数.∴m24m4一定是完全平方数设m24m4k2（k为正整数）∴(m2)2k28即：(m2k)(m2k)8∵m+2+k≥m+2-k,且奇偶性相同∴m2k4或m2k2m2k2m2k4解得m=1＞0（舍去）或m=－5。当m=－5时，原方程为x2-5x+6=0，两根分别为x1=2，x2=3。2.利用求根公式例3.（2000年全国联赛）设关于x的二次方程1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
3、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(k26k8)x2(2k26k4)xk24的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解：(2k26k4)24(k24)(k26k8)4(k6)2由求根公式得x2k26k42(k6)2(k26k8)即x112,x214k4k2由于x≠-1，则有42,k24kx11x21两式相减，得242即x1(x23)2x11x21由于x1，x2是整数，故可求得x12,x24或x12,x22或x11,x25分别代入，易得k=10，6，3。33.利用方程根的定义例4.当b为何值时，方程x2bx20和x22xb(b1)0有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相
4、减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)当b≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得(1b)2b(1b)20解得b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根.∴b=1,相同的整数根是24.利用因式分解例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程(a1)x22xa10的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________个.解:当a=1时,x=1当a≠1时,原方程左边因式分解,得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0即得x11,x2211a∵x是整数∴1-a=±1,±2,∴a=-1,0,2,3由上可知符合条件的整数有5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m是什么整数
5、时,关于x的方程2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯x2(m1)xm10的两根都是整数?解：方程的两整数根分是x1，x2，由达定理得x1x2m1①x1x2m1②由②①消去m，可得x1x2x2x12(x11)(x21)3131(3)有x111或x111x213x213解得：x12或x10x24x22由此x1x28或0，分代入②，得m7或m15.利用根与系数的关系例7.(1998年全国竞赛题)求所有正实数a,使得方程x2ax4a0仅有整数根.解：方程的两整数根分是x1，x2，且x1x2由根与系数的关系得x1x2a0①x1
6、x24a0②由①得ax2a⋯③将③代入②得4ax1x2x1a4ax1x2x1a22∴4x18然x1≠4，故x1可取5，6，7，8。从而易得a=25，18，16。6.构造新方程例8.(1996年全国联赛)方程(xa)(x8)10有两个整数根,求a的值.解：原方程(x8)2(8a)(x8)10设y=x-8，得新方程y2(8a)y10它的两根y1，y2，y1y2a8,y1y21∵x是整数，∴y1，y2也是整数，y1，y2只能分1，-1或-1，1即y1+y2=0∴a=8。7.构造等式3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯例9.
7、(2000年全国联赛C卷)求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程x23ax2b0,x23bx2c0,x23cx2a0所有的根都是正整数.解：三个方程的正整数解分x1,x2,x3,x4,x5,x6，有x23ax2b(xx1)(xx2)x23bx2c(xx3)(xx4)x23cx2a(xx5)(xx6)令x=1，并将三式相加，注意到xi≥1（i=1，2，⋯6），有3(abc)(1x1)(1x2)(1x3)(1x4)(1x5)(1x6)0000但a≥1，b≥1，c≥1，又有3-（a+b+c）≤0，∴3-（a+b+c）=0故a=b
