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《一元二次方程整数根问题的十二种思维(竞赛+中考)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、一元二次方程整数根问题的十二种思维策略一.利用判别式例1.（2000年黑龙江中考题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数。解：∵方程有整数根，∴⊿=16-16m≥0，得m≤1又∵方程有整数根∴得综上所述，－≤m≤1∴x可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x-4x+4=0没有整数解，舍去。而m≠0∴m=1例2．（1996年四川竞赛题）已知方程有两个不相等的正整数根，求m的值。解：设原方程的两个正整数根为x，x，则m=－(x+x)为负整数.∴一定是完全平方数设（为正整数）∴即：∵m+2+k≥m+2-k,且奇偶性相同∴或解得
2、m=1＞0（舍去）或m=－5。当m=－5时，原方程为x-5x+6=0，两根分别为x=2，x=3。一.利用求根公式例3．（2000年全国联赛）设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解：由求根公式得即由于x≠-1，则有两式相减，得即由于x，x是整数，故可求得或或分别代入，易得k=，6，3。二.利用方程根的定义例4.b为何值时，方程和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)当b≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得解得b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根.∴b=1,相同的整
3、数根是2四.利用因式分解例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________个.解:当a=1时,x=1当a≠1时,原方程左边因式分解,得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0即得∵x是整数∴1-a=±1,±2,∴a=-1,0,2,3由上可知符合条件的整数有5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m是什么整数时,关于x的方程的两根都是整数?解：设方程的两整数根分别是x，x，由韦达定理得①②由②①消去，可得则有或解得：或由此或0，分别代入②，得或五.利用根与系数的关系例7.(1998年全国竞赛题)
4、求所有正实数a,使得方程仅有整数根.解：设方程的两整数根分别是x，x，且由根与系数的关系得①②由①得③将③代入②得∴显然x≠4，故x可取5，6，7，8。从而易得a=25，18，16。六.构造新方程例8.(1996年全国联赛)方程有两个整数根,求a的值.解：原方程变为设y=x-8，则得新方程为设它的两根为y，y，则∵x是整数，∴y，y也是整数，则y，y只能分别为1，-1或-1，1即y+y=0∴a=8。七.构造等式例9.(2000年全国联赛C卷)求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程的所有的根都是正整数.解：设三个方程的正整数解分别为，则有令x=
5、1，并将三式相加，注意到x≥1（i=1，2，…6），有但a≥1，b≥1，c≥1，又有3-（a+b+c）≤0，∴3-（a+b+c）=0故a=b=c=1八.分析等式例10.(1993年安徽竞赛题)n为正整数，方程有一个整数根，则n=__________.解：不妨设已知方程的整数根为α，则整理。得因为为整数，所以为整数也一定是整数，要使为整数，必有由此得，即解得n=3或-2（舍去）∴n=3。九.反客为主例11.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a,使方程至少有一个整数根.解：由原方程知x≠2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程得（因为是正整数）
6、则得解得因此，x只能取-4，-3，-1，0，1，2。分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1，3，6，10。十.利用配方法例12.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)已知方程有两个不等的负整数根,则整数a的值是__________.解：原方程可变为即得：当a-1=-1，-2，-3，-6，即a=0，-1，-2，-5时，x为负整数。但a=0时，x＞0；a=-5时,x==-1又a≠-1∴a=-2。十一.利用奇偶分析例13.(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程有两个质数根,则常数a=___________.解：设方程的两个质数根为x，x(x＜x)由根与系数的
7、关系得x+x=1999.显然x=2,x=1997,于是a=2×1997=3994.十二.利用反证法例14.不解方程,证明方程无整数根证明:假设方程有两个整数根αβ,则α+β=1997,αβ=1997,由第二式知αβ均为奇数,于是α+β为偶数,但这与第一式相矛盾,所以α,β不可能都是整数.假设方程只有一个整数根,则α+β不可能是整数,也与第一式相矛盾,所以方程不可能只有一个整数根.综上所述,原方程无整数根.
