最优控制内容要点教学文稿.ppt

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1、最优控制内容要点最优控制问题的一般描述①受控系统或过程的数学模型②容许控制的集合Uad工程实际因素的限制。例如，控制飞机的舵偏角是受限制的，控制电机的电流是受限制的。③边界条件初态通常已知。目标集S可以表示为④性能指标反映和评价系统性能优劣的指标。性能指标值的大小依赖于控制作用的整体u(·)的选择，而不是取决于控制u(t)在t时刻的值；因此J[u(·)]是控制函数u(·)的函数（称为u(·)的泛函）。最优控制问题的四个要素：2最优控制问题可表述为：寻找一个容许控制u(t)，使受控系统从某个给定的初始状态　　　　　出发，在末端时刻　达到目标集，并且使性能指标J[u(·)]

2、达到极小值或极大值。如果问题有解，则称求得的容许控制为最优控制，记为u*(t)；在u*(t)作用下系统状态方程的解称为最优轨线，记为x*(t)；相应的性能指标值J[u*(·)]，称为最优指标值。在数学上，最优控制问题的实质，是对受约束的泛函J[u(·)]求极值的问题，其中的约束条件为系统的状态方程、目标集方程和容许控制域。开环控制与闭环控制：最优控制的一类形式是表示为时间变量t的函数，称为程序控制或开环控制。它的缺点是不能抑制扰动。最优控制的另一类形式是状态反馈，称为综合控制或闭环控制。其优点是对抑制扰动有利。3有约束条件的函数极值问题--拉格朗日乘子法设具有个n变量的

3、多元函数为X的各分量满足下面的m个等式约束方程函数L有极值的必要条件为拉格朗日函数4习题1.求使且2.求原点到曲线的距离为最小。3.求函数极值，若5变分法性能指标泛函的三种形式拉格郎日(Lagrange)形式(积分型)马耶耳(Mayer)形式(末值型)波尔扎(Bolza)形式(混合型)在变分法中，当性能指标泛函的形式为Lagrange形式、Mayer形式和Bolza形式时，泛函取极值的问题分别称为Lagrange问题、Mayer问题和Bolza问题。6无约束条件的变分问题：tf固定欧拉方程是二阶微分方程，它的解包含两个积分常数。这两个积分常数要利用边界条件x(t0)=x

4、0和x(tf)=xf来确定。只有满足欧拉方程同时又满足边界条件的函数，才能在满足给定端点条件下使泛函达到它的极值。因此，求解变分或寻找泛函的极值函数问题归结为求解欧拉方程。对于端点时间固定，而端点状态未规定的情况，则必要条件包括下面两个方程（横截条件）（欧拉方程）和7(1)固定端点问题(2)固定始端、未定终端问题(3)未定始端、固定终端问题(4)未定端点问题8横截条件的讨论(1)固定端点问题横截条件变成预先规定的边界条件x(t0)=x0和x(tf)=xf(2)固定始端、未定终端问题这时　　　　，　　可任意选择。于是，横截条件变成和9(3)未定始端、固定终端问题　　这时　

5、　　　，　　可任意选择。于是，相应的横截条件是(4)未定端点问题　　　　　　　假设　　，　　互不相关，横截条件可写成又知道　　和　　任意，于是得到横截条件和和和10无约束条件的变分问题：tf未定考虑最简单的泛函的极值。其中x(t)是t的二次可微函数；　　　　　是变量x、　和t的连续函数，并且有连续二阶偏导数，端点时间t0固定。假设终端时间tf未规定，但不是任意的，它受终端状态xf约束，而xf又取决于给定的终端曲线c(tf)。c(tf)规定了终端状态与终端时间之间的关系。终端状态约束如图所示。11x(t0)=x02．tf和x(tf)受c(tf)曲线约束1．tf自由，x(t

6、f)自由x(t0)=x0(确定末端时间)(确定末端状态)3．tf自由，x(tf)固定x(t0)=x0和x(tf*)=xf无约束条件的变分问题：tf未定在边界处应满足的条件泛函取极值的必要条件为：12欧拉方程和横截条件的矢量形式假设性能泛函把它写成矢量形式，则有对于初始状态固定，终端受约束的可动边界问题，可得欧拉方程和横截条件的矢量形式（欧拉方程）（横截条件）13有等式约束的变分问题如果给出性能泛函其中x=[x1x2…xn]T是n维矢量，要求在矢量微分方程的约束下求泛函J的极值，其中(m

7、束条件结合到性能泛函中构成一个新泛函，即14于是，在微分方程组约束下求泛函的条件极值问题，只需用拉格朗日乘子法将有约束条件问题转化为无约束条件问题来解决。假设函数x1(t)，x2(t)，…，xn(t)，λ1(t)，λ2(t)，…，λm(t)使泛函J'取极值，那么这n+m个函数必须满足下面n+m个欧拉方程：或写成矢量形式在这里我们把辅助泛函J'作为依赖于n+m个自变量函数x1，x2，…，xn，λ1，λ2，…，λm的泛函来看待。15习题1、求的极值曲线。其中(1)(2)2、y(1)=1，y(2)自由，求使取极值的y*(x)。3、y(0)=1，