数学模型三步骤教学内容.ppt

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1、数学模型三步骤線性規劃求解方法-在財務金融領域之案例分析-Topic1IntroductionTopic2LinearProgrammingTopic3FindSolutionTopic4ApplicationsinFinancialCaseTopic1Introduction對於如何分配有限資源，以達成利潤最大化或成本最小化之目標是企業經營者常遇到之最佳化問題，線性規劃（linearprogramming，簡稱LP）乃是解決此問題常用方法之一。目的討論在線性規劃的數學模型及基本假設，並討論在線性規劃中的三種求解方法:圖解法、代數法及單形法，比較其優缺點，並以財務金融領域中保單規劃

2、及投資組合二個案為研究對象，建構其數學模型，並利用單形法及模式語言LINDO，來求得最佳之決策方案。Topic2LinearProgrammingDefinitionMathModelBasicAssumptions何謂線性規劃所謂線性規劃是將決策上所面臨的問題，以線性的數學式來加以描述，在線性等式及不等式組的條件下，使用特定的方法求得最佳解。數學模型三步驟：1.確定決策變數。2.列出目標函數。3.尋求所有限制條件。線性規劃數學模型的格式:maximizesubjectto線性規劃其他形式之數學模型：1.求目標函數z之極小值，如minimizez2.有些限制式為””，如，對某些而言。

3、3.有些限制式為””，如，對某些而言。4.有些決策變數無非負限制，如不限正負號，對某些而言。線性規劃之基本假設:1.比例性(proportionality):是指每個變數對目標函數值的貢獻與該變數之值成比例。2.相加性(additivity):是指變數之間互相獨立，因此可相加減。3.可分性(divisibility):是指決策變數之值可為非整數(noninteger)，亦即可有小數部份，因此考慮的決策變數必須是連續的。4.確定性(certainty):是指所有的係數均為已知常數。線性規劃求解過程五步驟：1.瞭解真正的問題2.構建線性規劃模型3.蒐集投入資料4.求解該模型5.實施該解答

4、線性規劃的求解示意圖:起始步驟initializationstep反覆步驟iterativestep最佳性檢定optimalitytest停否是Topic3MathemeticalMethods圖解法代數法單形法線性規劃之專有名詞1.可行解：滿足所有限制式的解。2.可行區域：滿足所有限制式的區域即所有可行解所形成的集合。3.最佳解：在極大(小)化問題，最佳解即為可行區域中能使目標值為最大(小)的點。極點/角點(extremepoint/cornerpoint)二維空間中可行區域的邊界是由有限個線段所構成的，假如可行區域可以被一圓圈所包圍，則稱此可行域為有界否則稱之為無界。可行區域的邊

5、界上，兩條直線的交點，稱為極點或角點。線性規劃之定理假設線性規劃問題的可行區域不為空集合。1.若可行區域為有界，則目標函數在可行區域上必有最大值及最小值，且必定發生在極點上。2.若可行區域是無界，則目標函數在可行區域上可能沒有最大值或最小值。但是當目標函數在可行區域上有最大或最小值時，則極值必定發生在極點上。圖解法當線性規劃問題只有兩個決策變數時，常用圖解法來找出極值，因為只有二個變數，因此限制式所構成的解很容易在X-Y平面上表示出來，之後，只須針對每個極點做探討即可。以模型（I）為例代數法代數法是以求解聯立方程組的方法為基礎，因為不等式在代數上處理不便，所以我們需先將不等式轉換為等

6、式，因此問題的數學模型必須轉換為標準式。標準式是指數學模型必須為極大化問題，所有的限制是皆為等式，所有的變數皆為非負。數學模型之標準式轉換為標準式之步驟1.若原先為最小化問題，則可定義一新的目標函數例如可轉換2.若限制條件為“”的不等式，則在不等式的左端加上一個非負的虛變數例如反之，若限制條件為“”的不等式，則在不等式的左端減去一個非負的虛變數。求解個數聯立方程式只有m個，但未知數卻有n+m個，因此必須從n+m個未知數中令n個未知數為0，代入聯立方程式中求解，所以共有組在挑出滿足所有變數皆為非負條件的解，到獲得最佳解為止只有二個聯立方程式，但未知數卻有四個，共有組的解。但當決策變數及

7、限制式很多時，代數法的計算方式也很龐大，可行解的個數可能會多到無法處理的地步。單形法1947年由美國GeorgeDantzig為解決線性規劃問題而發展出來的方法。效率很高的解題方法，時常利用電腦，以求解非常龐大的問題，並且有很多功能強大的套裝軟體可使用，如LINDO….等單形法是一種迭代演算法(iterativealgorithm)，即重覆一系列的固定步驟，稱為一次反覆直到獲得結果為止。單形法之流程圖一開始選擇A=（0¸0）為起始基本可行解。找相鄰的基本可