数学模型电子教案教学内容.ppt

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1、数学模型电子教案6.1捕鱼业的持续收获问题及分析在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。产量模型假设无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率y=rxhPx0y0y=h(x)=ExxNy=f(x)f与h交点Phmx0*=N/2P*y=E*x效益模

2、型假设鱼销售价格p单位捕捞强度费用c单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入T=ph(x)=pEx支出S=cEEsS(E)T(E)0rE捕捞过度封闭式捕捞追求利润R(E)最大开放式捕捞只求利润R(E)>0R(E)=0时的捕捞强度(临界强度)Es=2ERERE*6.2军备竞赛描述双方(国家或国家集团)军备竞赛过程解释(预测)双方军备竞赛的结局假设1）一方军备越大，另一方军备增加越快；2）一方军备越大，对自己军备增长的制约越大；3）每一方都存在增加军备的潜力。目的建模x(t)~甲方军备数量，y(t)

3、~乙方军备数量,~本方经济实力的制约；k,l~对方军备数量的刺激；g,h~本方军备竞赛的潜力。线性常系数微分方程组的平衡点及其稳定性平衡点P0(x0,y0)=(0,0)~代数方程的根平衡点稳定性判断系数矩阵平衡点(x0,y0)稳定的条件模型军备竞赛模型的定性解释双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛才会稳定，否则军备将无限扩张。2)若g=h=0,则x0=y0=0,在>kl下x(t),y(t)0,即友好邻国通过裁军可达到永久和平。3）若g,h不为零，即便双方一时和解，使某时x(t),y(t)很小，但

4、因，也会重整军备。4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减,如x(t)=0，也会因使该方重整军备，即存在互不信任()或固有争端()的单方面裁军不会持久。6.3种群的相互竞争自然环境中两个种群之间关系：相互竞争；相互依存；弱肉强食。当两个种群相互竞争时，常见的结局是，竞争力弱的灭绝，竞争力强的达到环境容许的最大容量。建立数学模型描述两个种群相互竞争的过程，分析产生这种结局的条件。模型假设甲乙两种群独自生存时数量变化均服从Logistic规律;乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正比;甲对乙有同样的作用。对甲增长的阻滞作用，乙大于甲乙的竞争力强模型模型分析(

5、平衡点及其稳定性)(二阶)非线性(自治)方程的平衡点及其稳定性平衡点P0(x10,x20)~代数方程的根若从P0某邻域的任一初值出发，都有称P0是微分方程的稳定平衡点仅当1,2<1或1,2>1时，P3才有意义平衡点稳定性分析平衡点Pi稳定条件：p>0且q>0种群竞争模型的平衡点及稳定性不稳定平衡点2>1,1>1,P1,P2是一个种群存活而另一灭绝的平衡点P3是两种群共存的平衡点1<1,2<1P1稳定的条件1<1?1<12<1稳定条件0S1S2S3平衡点稳定性的相轨线分析P1(N1,0)是稳定平衡点(1)2>1,1<1tx1

6、,x2tx1,x2tx1,x2P1P2有相轨线趋向P1有相轨线趋向P2P1稳定的条件：直接法2>1P1,P2都不(局部)稳定0(3)1<1,2<10(2)1>1,2<10(4)1>1,2>1加上与(4)相区别的1<1P2稳定P3稳定P1全局稳定结果解释对于消耗甲的资源而言，乙(相对于N2)是甲(相对于N1)的1倍。对甲增长的阻滞作用，乙小于甲乙的竞争力弱P1稳定的条件：1<1,2>12>1甲的竞争力强甲达到最大容量，乙灭绝P2稳定的条件：1>1,2<1P3稳定的条件：1<1,2<1通常11/2，

7、P3稳定条件不满足6.4种群的相互依存甲乙两种群的相互依存有三种形式1)甲可以独自生存，乙不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。2)甲乙均可以独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。3)甲乙均不能独自生存；甲乙一起生存时相互提供食物、促进增长。模型假设甲可以独自生存，数量变化服从Logistic规律;乙为甲提供食物、促进增长。乙不能独自生存；甲为乙提供食物；乙受到本身的阻滞作用(服从Logistic规律)。模型种群依存模型的平衡点及稳定性P2是甲乙相互依存而共生的平衡点稳定条件不稳定平衡点01<1,2>1,12<1P2稳定

8、12<1~2>1前提下P2存在的必要条件结果解释2>1~甲必须为乙提供足够的食物——甲