数学微积分说课材料.ppt

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1、数学微积分卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。Ozyx下页卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。Ozyx第一卦限第二卦限第三卦限第四卦限下页卦限：三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分叫做卦限。Ozyx第五卦限第六卦限第七卦限第八卦限下页练习点的坐标：OxyzPRQ设M为空间一点，过点M作三个平面，分别垂直于x轴、y轴和z轴，得到三个平面在x轴、y轴、z轴上的交点P、Q、R。设OP=a、OQ=b、OR=c，则点M唯一确定了一个三元有序数组(a,b,c)。反之，对任意一个三元有序数组(a,b,c)，也可以唯一地确定空间的一个点M。M三元有序数组(a,b,c)

2、称为点M的坐标，记为M(a,b,c)。首页练习二、空间两点间的距离因为

3、M1M2

4、2=

5、M1Q

6、2+

7、M2Q

8、2=

9、M1P

10、2+

11、PQ

12、2+

13、M2Q

14、2，M1所以

15、M1Q

16、=

17、z2z1

18、。

19、PQ

20、=

21、y2y1

22、，设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，求两点间的距离d。

23、M1P

24、=

25、x2x1

26、，作一个以M1和M2为对角线顶点的长方体，使其三个相邻的面分别平行于三个坐标面。OxyzM2x2x1y1y2PQz1z2注意：下页二、空间两点间的距离设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，则两点间的距离为特殊地，点M(x,y,z)与原点O(0,0

27、,0)的距离为下页二、空间两点间的距离设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，则两点间的距离为例1求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。所以

28、M2M3

29、

30、M1M3

31、，

32、M1M3

33、2

34、M2M3

35、2解：因为

36、M1M2

37、2(74)2(13)2(21)214，(57)2(21)2(32)26，(54)2(23)2(31)26，即DM1M2M3为等腰三角形。下页二、空间两点间的距离设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，则两点间的距离为解：设所求的

38、点为M(0,0,z)，则有

39、MA

40、2

41、MB

42、2，例2在z轴上求与两点A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点。即(04)2(01)2(z7)2(30)2(50)2(2z)2。首页三、曲面与方程如果曲面S上任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0，而不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x,y,z)=0，那么方程F(x,y,z)=0称为曲面S的方程，而曲面S称为方程F(x,y,z)=0的图形。OxyzF(x，y，z)0M(x，y，z)F(x，y，z)0M(x，y，z)下页例3一动点M(x,y,z)与二定点M1(1,-1,0)、M2(2,0,-2)的距

43、离相等，求此动点M的轨迹方程。解：依题意有

44、MM1

45、=

46、MM2

47、，由两点间距离公式得化简后可得点M的轨迹方程为x+y-2z-3=0。动点M的轨迹是线段M1M2的垂直平分面，因此上面所求的方程是该平面的方程。下页例4求三个坐标平面的方程。解：注意到xOy面上任一点的坐标必有z=0，而满足z=0的点也必然在xOy面上，所以xOy面的方程为z=0。同理，yOz面的方程为x=0；zOx面的方程为y=0。例5作z=c(c为常数)的图形。Oxyzc解：方程z=c中不含x、y，这意味着x与y可取任意值而总有z=c，其图形是平行于xy平面的平面。M(x,y,c)下页前面讨论了几个平面的方程，它们都是一次方

48、程，可以证明空间内任意一个平面的方程为三元一次方程Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C、D均为常数，且A、B、C不全为0。平面方程：下页球面方程：例6求球心为点M0(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程。化简得球面方程(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2。M0M解：设M(x,y,z)为球面上任意一点，则有

49、MM0

50、=R，由距离公式有OxyzR下页球面方程：球心为点M0(x0,y0,z0)，半径为R的球面方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2。特殊地，球心为原点的球面方程为x2+y2+z2=R2。上半球面方程为：下半球面方程为：OxyzR下页例7作曲

51、面x2+y2=R2的图形。解：方程x2y2R2在xOy面上表示以原点为圆心、以R为半径的圆。在空间直角坐标系中，任意作一条通过xOy面上的圆x2y2R2且平行于z轴的直线，则直线上的点都满足方程x2y2R2，即直线在x2y2R2所表示的曲面上。因此，这个曲面可以看成是由平行于z轴的直线l沿xOy面上的圆x2y2R2移动而形成的圆柱面。直线l叫做它的母线，x2y2R2叫做它的准线。OxyzRRx2