递推型数列类型与求通项公式方法(已打)

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1、常用递推数列类型与求通项公式方法摘要：本文力图对常见的高考递推数列类型的概括及求通项公式方法的研究，揭示这一内容的数学规律与本质，以便帮助读者更好地辅导学生参加高考．递推公式是指数列的任意连续若干项所满足的一个确定关系式（比较常见的通常是给出数列中的相邻两项间的关系），由递推公式和相应的前若干项可以确定一个数列；利用递推公式法给出数列称为递推数列．在递推背景下，首先是如何突破这个递推的条件，其中（大多数）的方法就是求出数列的通项公式，然后用这个通项公式解决后面的综合问题；（少数）另一种重要方法就是不求出、或本身就是很难求出通项公式，借助数列解题特有的方法来

2、解决问题．在2008年全国19份理科试卷中，凡是数列综合题都含有递推公式，其中有16份需要用求出通项公式的工具解题；在2009年高考19份理科卷中，有5份卷出现递推型数列综合题，在２０１０年高考19份理科卷中，也有６份卷出现递推型数列综合题，这些试题都需要求出通项公式来解决后面的问题．因此在高考中，递推数列题目屡见不鲜，其中，需要求出递推数列的通项是近年高考的热点．解决此类问题必须根据递推公式的结构特征，运用一些独特的方法，变换原来的递推公式，以便得到等差型、等比型、累加型、累乘型等模式比较明确的新递推公式，然后，利用基本数列知识去求数列的通项公式．然而，

3、不少读者对变换数列的递推公式的方法知之甚少，从而导致了在处理此类问题时吃“闭门羹”；文［１］对这样的递推数列用例题形式给出了九种模型，值得初学者一读，但内容粗浅，缺少从思想高度上去总结，从方法分类上去概括，类型也无法覆盖高考的要求；文［２］只对含有递推公式相关的数列的问题有一点简单的涉及；为此，本文在上述基础上，把老师们平时零散在做的，就一些常见的、高考密切相关的递推公式变换的常用手段进行整理与研究,系统概括，希望对读者有所帮助．一、求递推公式形如的数列的通项公式这里结合具体的例子来说明递推公式形如(其中、、、，为已知的常数且、１，且，)的数列的通项公式的

4、求法．这些递推数列的通项公式的推求在文[3]、[４]里都有一些零散的研究，所提的方法多样，这里希望通过对上述方法的归纳、集中，形成单一的、便于学生轻松掌握和简易运用的所谓“主要方法”和“次要方法”，采用的“主要方法”是将已知数列转化变形为新的“等比”数列后求通项的方法，这里的转变侧重在用待定系数法，对递推公式进行“改造”；采用的“次要方法”是利用等式“”即有些参考书所称呼的“逐差法”或“累加法”来求．本文不考虑特殊的情形，如，等情况；请读者阅读本文后思考笔者为什么要用“主要方法”和“次要方法”来命名．类型1递推关系形如（、，）的递推数列例1已知数列满足：，

5、（），求数列的通项公式．主要解法：因为，（），将递推关系进行适当的变形为，就可以转化为一个新的等比数列，其首项为，公比为，所以有，从而有．这样的数列有时无法直接观察转化出的形式，那么通常可以设变形后的形式为，展开得，由待定系数法知，所以得．一般地，对于递推关系形如（、，）的递推数列，两边同加上一个，得，令，得，即递推关系变为这样的等比数列．10次要解法：由，可以得到，即递推式子，由此想到等式，那么就有=，即．一般地，对于递推关系形如（、，）的递推数列，可以变化为，即型．另解：由，得到，即．一般地，对于递推关系形如（、，）的递推数列，也可以由归纳法归纳而得．

6、思考题１：（２０１０年上海理科卷２０题）已知数列的前项和为，且，（）．（I）证明：是等比数列；（II）求数列的通项公式，并求出为何值时，取得最小值？并说明理由．答案：（I）是以－１５为首项，为公比的等比数列；（II），当时取得最小值．类型2递推关系形如（、，）的数列例2已知数列满足：，（），求数列的通项公式．主要解法：因为，（），将递推关系进行适当的变形为，就可以转化为一个新的等比数列，其首项为、公比为，所以有，从而有．这样的数列有时无法直接观察转化出的形式，那么，通常可以设变形后的形式为，展开得，由待定系数法得，所以，．再将，代入就可以得到最终的变式：1

7、0．一般地，对于递推关系形如（、，）的数列，我们可以变化为，退回来就是，这样、．次要解法：由于，得到，即，由此想到等式，那么就有=（这里的中刮号内求和要用到错位相减法），从而有．一般地，对于递推关系形如（、，）的数列，我们可以变化为这样的逐差形式．思考题２：知数列满足：，（），求数列的通项公式．(答案：)类型3递推关系形如（、１，）的数列例3已知数列满足：，（），求数列的通项公式．主要解法：因为，（），将递推关系进行适当的变形为，就可以转化为一个新的等比数列，其首项为，公比，所以有，从而有．这样的数列有时无法直接观察转化出的形式，那么通常可以设变形后的形式

8、为，展开得，由待定系数法知，，再将，代入就可以得到最终的变式．一般