2、的中点,则+(+)等于( )A.B.C.D.解析:依题意有+(+)=+=.答案:A4.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三个向量共面,则实数λ等于( )A.B.C.D.解析:∵a、b、c三向量共面,所以存在实数m、n,使得c=ma+nb.即∴λ=.答案:D5.(2010·淄博模拟)设A、B、C、D是空间不共面的四个点,且满足·=0,·=0,·=0,则△BCD的形状是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.无法确定解析:·=(-)·(-)=·-·-·+=>0,
3、同理,·>0,·>0,∴△BCD为锐角三角形.答案:C6.如图,已知空间四边形的每条边和对角线长都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点,则a2等于( )A.2·B.2·C.2·D.2·解析:2·=2a·a·cos60°=a2.答案:B二、填空题(共3个小题,每小题4分,满分12分)7.已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则
4、
5、的值是________.解析:设P(x,y,z)则=(x-1,y-2,z-1)=(-1-x,3-y,4-z)由=2知x=-,y=,z=3由两点间距离公式
6、可得
7、
8、=.答案:8.在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________.(用a,b,c表示)解析:由题意得=(+)=[+(+)]=[a+(b+c)]=a+b+c.答案:a+b+c9.已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=,则cos〈a,b〉=________.解析:a==(1,1,0),b=(-1,0,2)∴cos〈a,b〉===-.答案:-三、解答题(共3个小题,满分38分)10.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C
9、(1,-1,5).(1)求以,为边的平行四边形的面积;(2)若
10、a
11、=,且a分别与,垂直,求向量a的坐标.解:(1)由题意可得:=(-2,-1,3),=(1,-3,2),∴cos〈,〉====∴sin〈,〉=,所以以,为边的平行四边形的面积S=2×
12、
13、·
14、
15、·sin〈,〉=14×=7.(2)设a=(x,y,z),由题意得解得或∴a=(1,1,1),或a=(-1,-1,-1).11.在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB和CD成60°角(见下图).求B、D间的距离.解:∵∠AC
16、D=90°,∴·=0.同理·=0.∵AB和CD成60°角,∴〈,〉=60°或120°.∵=++,∴=+++2·+2·+2·=+++2·=3+2×1×1×cos〈,〉=∴
17、
18、=2或,即B、D间的距离为2或.12.直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分别为AB、BB′的中点.(1)求证:CE⊥A′D;(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.解:(1)证明:设=a,=b,=c,根据题意,
19、a
20、=
21、b
22、=
23、c
24、且a·b=b·c=c·a=0,∴=b+c,=-c+b-a.∴·=-c2+b2=
25、0,∴⊥,即CE⊥A′D.(2)=-a+c,∴
26、
27、=
28、a
29、,
30、
31、=
32、a
33、.·=(-a+c)·(b+c)=c2=
34、a
35、2,∴cos〈,〉==.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.