三维问题局部块分解预条件

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1、维普资讯http://www.cqvip.com计算物理第20卷第1期CHINESEJOURNALOFCOMPUTATIONALPHYSICSVo1．20．No．12003年1月Jan．，2003[文章编号]1001．246X(2003)01—0076—05三维问题的局部块分解预条件吴建平，李晓梅(1．国防科技大学计算机学院，湖南长沙410073；2．总装指挥技术学院，北京101416)[摘要]利用块三对角矩阵的嵌套局部块分解构造了一个不完全分解预条件子，并考虑了其修正型变种，分析了两者的存在性及若干性质．针对标准七点差分矩阵

2、，给出了预条件后的实际条件数．结果表明，采用局部块分解预条件时条件数与矩阵阶数的2／3次幂成正比，而采用修正型预条件时条件数与矩阵阶数的立方根成正比．最后考虑了预条件的高效实现并在主频为550MHz、内存为256M的微机上作了若干数值实验，并与其它较有效的预条件方法进行了比较．[关键词]对称正定矩阵；M矩阵；条件数；不完全分解；预条件子[中图分类号]TP301[文献标识码]A其中每个层(i)，C(i)，F(i)都是n×k阶矩阵，且C(i)=tridiag(G(i，_『)，T(i，J)，H(i，J+1))；每个O引昌G(i，J)

3、，T(i，)，H(i，)都是k阶矩阵．对A作不求微分方程数值解的核心是高效求解线性方程完全块LU分解A—B=LU，其中分解因子组．直接解法存储量与计算量一般很大，故迭代法越L=tridiag(E(i)，D^(i)，0)，来越受重视，但仍面临不收敛与收敛慢两个主要问题，构造预条件子是解决这些问题的有效途径．U=tridiag(0，，，D(i)F(i+1))，不完全分解预条件是串行计算时最有效的方法D(i)=L(i)(i)，之一．较常用的有基于因子中非零元结构分析的(i)=tridiag(G(i，)，D(i，)，0)，ILU(k)

4、方法⋯及基于元素幅度大小的ILU(P，r)方(i)=tridiag(0，I，Dc(i，_『)H(i，+1))，法J，后者还可基于极小舍弃重排计算，但开销因子D(i，_『)=T(i，J)，本文称曰为局部块Lu大．这些预条件方法针对一般的稀疏矩阵，对具体的分解预条件．块三对角矩阵，雷光耀等对对角占优矩阵用阶矩阵当式(1)中A各对角块T(i，)，i=1，⋯，m，的思想作不完全分解得到了较有效的预条件子，=1，⋯，n均非奇异时，由于D(i)=L(i)(i)并在文[6]中探讨了其在三维问题中的应用．存在且非奇异，从而L=tridiag(

5、E(i)，(i)，0)与本文利用块三对角矩阵的嵌套局部块分解构造U=tridiag(0，I，Dj(i)F(+1))存在且非奇异，所了一个不完全分解预条件子与其修正型变种，并计以此时可知曰存在且非奇异．算了标准7点差分矩阵预处理后的条件数．结果表此外，显然曰A以1为其至少m重特征值，明采用前一预条件时，条件数与矩阵阶数的2／3次并且如果R：B—A≥0，则当A，曰非奇异，A～≥幂成正比，而采用其修正型变种时，条件数与矩阵阶0，B一≥0且所有J=【(曰A)>0时，不难验证数的立方根成正比．文中给出的若干实验结果表明J=【；(曰A)：

6、1／(1+P(A。。))，所构造的预条件很有效．J=【且x(曰_。A)≤(1+2』D(A))／(1+P(A))．下面称当层(i)，F(i)，G(i，_『)，H(i，J)均为对1三维问题的局部块分解预条件角矩阵，且所有T(i，J)为三对角矩阵的A为7点差考虑由m×m个块组成的块三对角矩阵分矩阵，特别地，当层()，F(i)，G(，)，日(，_『)均A：tridiag(E()，C()，F(+1))，为单位矩阵，且(，_『)=tridiag(一1，6，一1)时，称i=l，2，⋯，rn，(1)A为标准7点差分矩阵．[收稿日期]2001—

7、09—03I[修回日期]2001—01—21(作者简介1吴建平(1974一)，男，湖南，博士，从事科学计算与并行算法方面的研究维普资讯http://www.cqvip.com第1期吴建平等：三维问题的局部块分解预条件定理1如(1)式中矩阵A为标准7点差分矩2三维问题修正型局部块分解预条件阵，则(I1A)=l+』0(AI1)，从而有现考虑对D(i)进行对角元修正，记修正后的2(A)

8、中(i)均为阶矩阵且(1)=0，其中B=LU，而且L=tridiag(E(i)，D()，0)，故1为矩阵A的特征值．当i>l时(i)=S+Um=tridiag(0，J，D：(i)F(i+1))，e=(1，⋯，1TD一，其中D=C+，C=tridiag(一I，T，一J)，S=∈