2013年绵阳一诊理科数学答案.doc

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1、绵阳市高2011级第一次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CBCDCABBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．912．613．514．15．①④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）cosx≠0知x≠kπ，k∈Z，即函数f (x)的定义域为{x

2、x∈R，且x≠kπ，k∈Z}．………………………3分又∵，∴．……………………………………………………………8分（II）由题意得≥0，即≤

3、，解得≤≤，k∈Z，整理得≤x≤，k∈Z．结合x≠kπ，k∈Z知满足f(x)≥0的x的取值集合为{x

4、≤x<，k∈Z}．………………………………………………12分17．解：（I）设{an}的公差为d，则由题知解得a1=2，d=4．……………………………………4分∴an=2+4(n-1)=4n-2．…………………………………………………………6分（II）设{bn}的公比为q，若q=1，则S1=b1，S2=2b1，S3=3b1，由已知，代入得8b1=4b1，而b1≠0，故q=1不合题意．…………………………………………

5、………………7分若q≠1，则S1=b1，，，于是整理得：4q2=3q+q3，解得q=0（舍去），q=1（舍去），q=3，………10分∴．………………………………………………………12分18．解：（I）由已知A=2，且有，即，由

6、

7、<得．又∵最高点为(1，2)，∴解得．∴．…………………………………………………………6分（II）∵B点的横坐标为3，代入函数解析式得=1，∴．…………………………………………………8分在△BCD中，设∠CBD=θ，则∠BDC=180º-120º-θ=60º-θ．由正弦定理有，∴，，………

8、…………………………9分∴．∴当且仅当时，折线段BCD最长，最长为千米．…………12分19．解：（I）由于f(3+x)=f(-x)知函数f (x)关于对称，即，解得b=-3，于是f(x)=x2-3x+2．………………………………3分当x≤-1，或x≥1时，由f(x)≥g(x)有x2-3x+2≥x2-1，解得x≤1，∴此时x的范围为x≤-1，或x=1．当-1

9、{x

10、x≤或x=1}．………………………………………………………………7分（II）若b=0时，显然h(x)>0恒成立，不满足条件．…………………………………………………………………9分若b≠0时，函数(x)=bx+5在(0，1)上是单调函数，即(x)在(0，1)上至多一个零点，不妨设0

11、……………2分∵，令2x=t，则，，∴g(t)在上是增函数．∴g(t)在上无最小值，即f(x)在M上无最小值．……………………………………………………7分（II）∵，∴g(x)在M上是增函数．……………………………………………………8分设1+tx-x2=0的两根为α，β(α<β)，则α+β=t，αβ=-1，M=(α，β)．于是=．由题意知，要使原不等式恒成立，只需，解得．……………………………………………………………………………13分21．解：（I）∵，∴．于是由题知1-a=2，解得a=-1．∴．∴，于是1=2×0

12、+b，解得b=1．……………………………………………………4分（II）由题意即恒成立，∴恒成立．设，则．x(-∞，0)0(0，+∞)-0+h(x)减函数极小值增函数∴h(x)min=h(0)=1，∴a<1．…………………………………………………………………………9分（III）由已知，∴．∵x1，x2是函数g(x)的两个不同极值点（不妨设x10（若a≤0时，，即g(x)是R上的增函数，与已知矛盾），且，．∴，．两式相减得：，于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证(x1-x2)>，即证(x1-x2)

13、->0，令x1-x2=t，t<0．即证不等式当t<0时恒成立．设，∴．∵由(II)知，即，∴(t)<0，∴(t)在t<0时是减函数．∴(t)在t=0处取得极小值(0)=0．∴(t)>0，得证．∴．……………………………………………………………14分