绵阳2016届一诊数学理科答案.doc

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1、绵阳市高2013级第一次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．CDADDBACBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．12．13．a≥214．215．①③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（1）∵m⊥n，∴m·n=(cosα，1-sinα)·(-cosα，sinα)=0，即-cos2α+sinα-sin2α=0．……………………………………………………3分由sin2α+cos2α=1，解得sinα=1，∴，k∈Z.……………………………

2、……………………………6分（2）∵m-n=(2cosα，1-2sinα)，∴

3、m-n

4、=，………………………………………………………9分∴5-4sinα=3，即得，∴．……………………………………………………12分17．解：（1）由已知an+1=2an+λ，可得an+1+λ=2(an+λ)．∵a1=1，当a1+λ=0，即λ=-1时，an+λ=0，此时{an+λ}不是等比等列．…………3分当a1+λ≠0，即λ≠-1时，（常数）．此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列，∴，于是．………………………6分（2）当λ=1时，an=

5、2n-1，∴.……………………………………………………………………7分∴，两边同乘以，得两式相减得，∴．…………………………………………………………12分18．解：（1）设第n年的受捐贫困生的人数为an，捐资总额为bn．则an=80+(n-1)a，bn=50+(n-1)×10=40+10n.……………………………2分∴当a=10时，an=10n+70，∴，解得：n>8．……………………………………………………………………5分即从第9年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过0.8万元．…………6分（2）由题意：，即，………………

6、………………………………8分整理得(5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0，即400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0，化简得80-5a>0，解得a<16，……………………………………………………………………11分∴要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过15人．……………………………………………12分19．解：（1）在Rt△ABC中，AC=ABcos60º=，.∵，∴=9+2×3×cos120º=6.………………………………………………………………

7、…4分（2）在△ACD中，∠ADC=180º-∠A-∠DCA=120º-θ，由正弦定理可得，即.………………………………………5分在△AEC中，∠ACE=θ+30º，∠AEC=180º-60º-(θ+30º)=90º-θ，由正弦定理可得：，即，…6分∴，…………………7分令f(θ)=sin(120º-θ)cosθ，0º≤θ≤60º，∵f(θ)=(sin120ºcosθ-cos120ºsinθ)cosθ，………………………………………………10分由0º≤θ≤60º，知60º≤2θ+60º≤180º，∴0≤sin(2θ+60º)

8、≤1，∴≤f(θ)≤，∴≤≤，∴≤≤．……………………………………………12分20．解：（1），由题意得3ax2+bx+c≥0的解集为{x

9、-2≤x≤1}，∴a<0，且方程3ax2+bx+c=0的两根为-2，1．于是，，得b=3a，c=-6a.………………………………………………………………2分∵3ax2+bx+c<0的解集为{x

10、x<-2或x>1}，∴f(x)在(-∞，-2)上是减函数，在[-2，1]上是增函数，在(1，+∞)上是减函数．∴当x=-2时f(x)取极小值，即-8a+2b-2c-1=-11，把b=3a，c=-6

11、a代入得-8a+6a+12a-1=-11，解得a=-1.………………………………………………………………………5分（2）由方程f(x)-ma+1=0，可整理得，即．∴．…………………………………………………………7分令，∴．列表如下：x(-∞，-2)-2(-2，1)1(1，+∞)+0-0+g(x)↗极大值↘极小值↗∴g(x)在[-3，-2]是增函数，在[-2，0]上是减函数．……………………11分又∵，g(-2)=10，g(0)=0，由题意，知直线y=m与曲线仅有一个交点，于是m=10或0

12、…………………13分21．解：（1），∴当x∈(-1，0)时，，即f(x)在(-1，0)上是增函数，当x∈(0，+∞)时，，即f(x)在(0，+∞)上是减函数．∴f(x)的单调递增区间为(-1，0)，单调递减函数区间为(0，+∞)．………3分（2）由f(x-1)+x>k变形得，整理得xln