数学分析华东师大第四版16章_多元函数的极限与连续.ppt

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1、多元函数微积分学多元函数一元函数，自变量只有一个；多元(n元)函数，自变量有n个()多元函数的例子1.圆的面积与椭圆的面积；2.正方形的面积与长方形的面积二元函数我们这节课将讨论二元函数。有关的概念、理论与方法可以平行地推广到一般的多元函数上去。二元函数的定义域一元函数的定义域是实数轴上的点集；二元函数的定义域是坐标平面上的点集.坐标平面与平面点集在平面上确定了一个直角坐标系之后，所有有序实数对(x,y)与平面上所有的点之间就建立了一一对应。确定了直角坐标系的平面，称为坐标平面；在坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集，

2、记作平面点集的例子二元函数的定义求二元函数的定义域与值域中邻域的概念中邻域的概念内点、外点与边界点的概念内点、外点与边界点的概念1.点集E的内点一定属于E;2.点集E的外点一定不属于E;3.点集E的边界点有可能属于E,也有可能不属于E聚点与孤立点的概念开集与闭集，开区域与闭区域1.若平面点集E中每一点都是E的内点，则称E为开集.2.若平面点集E的所有聚点都属于E，则称E为闭集.3.非空的连通开集称为开区域.4.开区域连同其边界构成的点集称为闭区域.若集合E中任意两点之间都可以用属于E的折线连接起来，则称E为连通集!既开又闭的平面

3、点集规定和空集既是开集又是闭集.点集的直径，有界集与无界集完备性定理一元函数极限理论的基础是实数理论，即反映实数系完备性的六个等价定理。这些定理可以推广到，它们是二元函数极限理论的基础。平面点列的收敛性Cauchy收敛准则闭区域套定理聚点定理Bolzano-Weierstrass定理有限覆盖定理n元函数的定义n元函数的定义极限理论二元函数的极限例题按照极限的定义证明证明注意例题证明二元函数的极限类似地，我们可以定义其它类型的极限二元函数的极限的特点二元函数的极限与一元函数的极限的区别。例题证明例题证明二元函数的极限为无穷大二元函

4、数的极限为无穷大类似地，我们可以定义其它类型的极限例题按照定义很容易能够证明二元函数极限的性质与运算二元函数极限的性质与运算和一元函数的情形类似，如极限值的唯一性，四则运算法则，两边夹定理等等。累次极限累次极限累次极限二重极限与累次极限的关系二重极限与累次极限是两个不同的概念，一般来说，它们的存在性没有彼此蕴含的关系。二重极限与累次极限的关系函数的两个累次极限都存在，但是二重极限却不存在的例子：证明二重极限与累次极限的关系函数的两个累次极限都存在，但是二重极限却不存在的另一例子：证明二重极限与累次极限的关系函数的二重极限存在，但

5、是两个累次极限都不存在的例子：证明二重极限与累次极限的关系函数的二重极限存在，但是两个累次极限都不存在的另一例子：证明二重极限与累次极限的关系二重极限与累次极限的联系定理证明推论1推论1推论1给出了累次极限次序可交换的一个充分条件。推论2推论2推论2可以用来否定二重极限的存在性。例题例题二元函数的连续性不连续点二元连续函数孤立点一定是连续点！若f在D上任何点处都连续，则称f为D上的连续函数。连续函数的例子连续函数的例子连续函数的例子二元连续函数的性质与一元连续函数的情形一样，二元连续函数也有局部有界性，局部保号性，四则运算的性质

6、，复合函数的连续性等等，其证明过程相同。全增量与偏增量全增量与偏增量全增量与偏增量二元连续函数反例二元函数的连续性定理证明二元函数的连续性定理有界闭区域上连续函数的性质有界闭区域上二元连续函数的性质可以视为闭区间上一元连续函数性质的推广。有界闭区域上连续函数的性质有界性定理有界函数的定义有界闭区域的例子有界闭区域上连续函数的性质最大最小值定理有界闭区域上连续函数的性质一致连续性定理有界闭区域上连续函数的性质介值性定理有界闭区域上连续函数的性质根的存在性定理