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《线性代数 13个应用案例 【李尚志】.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、线性代数应用案例1.平行四边形与三角形的面积2.平面上的旋转3.平面上的轴对称4.平面上的直线方程5.平面二次曲线的分类6.空间中平行四边形的面积7.欧氏空间中的旋转8.空间中的平面对称9.二次曲面的分类10.不定方程x2+y2=z2的整数解11.最小二乘法12.多元函数的极值13.二次函数的条件极值已知直角坐标平面上三点A(a1,a2),B(b1,b2),O(0,0)。求以OA,OB为一组邻边的平行四边形OACB的面积SOACB及三角形OAB的面积SOAB。OABC1.平行四边形与三角形的面积相关知识点1．行列式的定义2．行列式的性质3．行列式的计算解题方法1．利
2、用向量的运算计算面积。2．利用行列式的几何意义计算面积。解题过程解法一：利用向量的运算解题过程解法二：利用行列式的几何意义 三阶行列式的几何意义是行列式的三个行向量所围成的平行六面体的“有向”体积；而二阶行列式的几何意义是行列式的两个行向量围成的平行四边形的有向面积。一般的n阶行列式可以看作由平行四边形面积、平行六面体体积推广得到的“n维体积”。求直角坐标平面上任意点P(x,y)绕原点沿逆时针方向旋转角a后到达的点P’(x’,y’)的坐标。2.平面上的旋转相关知识点1．线性变换的矩阵表示2．矩阵运算的定义解题方法1．考虑基向量旋转之后的象2．考虑点旋转后幅角的变化解
3、题过程解法一：先求出基向量旋转之后的象解题过程解法二：利用点经过旋转后幅角的变化已知l是直角坐标平面上过原点的直线，l的斜角为a。求平面上任意点P(x,y)关于l的对称点P’(x’,y’)的坐标。3.平面上的轴对称相关知识点1．线性变换的矩阵表示2．矩阵运算的定义解题方法1．考虑基向量关于轴对称的象2．考虑点经过轴对称后幅角的变化解题过程解法一，先求出基向量的象。解题过程解法二，利用点经过轴对称之后幅角的变化。进一步的问题对一般位置直线l，结论如何？已知A(a1,a2)，B(b1,b2)是直角坐标平面上给定两点。求平面上过A，B的直线lA,B的方程。4.平面上的直线
4、方程相关知识点1．行列式的计算2．行列式的应用解题方法三点共线当且仅当三角形面积为零。解题过程A，B，P三点共线当且仅当由AP和AB所张成的平行四边形或三角形面积为零。于是直线lA,B的方程为直角坐标平面上的二次曲线由一般二次方程a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0所确定，其中aij都是实数且a11,a12,a22不全为零。我们已经知道椭圆，双曲线，抛物线都是二次曲线。问除这三种外还有其他的二次曲线吗？5.平面二次曲线的分类相关知识点1．矩阵的相合（合同）关系2．二次型的标准形与规范形3．二次型的应用解题方法利用坐标系的变换，化曲
5、线方程为标准形，从而决定曲线的类型和位置。解题过程第一步，将曲线方程写成矩阵形式解题过程化曲线方程为第二步，旋转坐标系解题过程化曲线方程为第三步，若ã22≠0，平移坐标系此时，曲线为椭圆(ã11ã22>0)或双曲线(ã11ã22<0)及其退化情形。解题过程化曲线方程为若ã22=0，平移坐标系此时，曲线为抛物线及其退化情形。已知n维直角坐标空间中三点A(a1,…,an),B(b1,…,bn)，O(0,…,0)。求平面OAB中以OA,OB为一组邻边的平行四边形OACB的面积SOACB。OABC6.空间中平行四边形的面积相关知识点1．行列式的性质2．基变换，坐标变换3．标
6、准正交基解题方法建立新的直角坐标系，利用行列式的几何意义计算面积。解题过程在平面OAB上建立以O为原点的平面直角坐标系。OABC在此坐标系下，xy解题过程于是，进一步的问题推广到计算n维空间中m维平行多面体的体积。设A是三维欧氏空间上的线性变换，求A是旋转变换的充分必要条件。7.欧氏空间中的旋转相关知识点1．线性变换的矩阵表示2．正交矩阵，正交变换3．矩阵的特征值和特征向量的定义解题方法1．先找出A是旋转变换的必要条件2．再证明这也是充分条件解题过程第一步，找出A是旋转变换的必要条件。如果A是旋转变换，选取标准正交基{e1,e2,e3}使得e3平行于转轴，则A在这组
7、基下的矩阵具有形式其中θ是所旋转的角。因此A是行列式为1的正交变换。解题过程第二步，证明行列式为1的正交变换都是旋转变换.设A是正交变换且行列式为1，则存在特征向量e3=Ae3且
8、e3
9、=1。将其扩充为标准正交基{e1,e2,e3}，则A在这组基下的矩阵具有形式A就是一个以e3为转轴的旋转变换，旋转角度为θ.已知三维欧氏空间中平面Ω由A(a1,a2,a3)，B(b1,b2,b3)，O(0,0,0)三点张成。求空间中任意点P(x,y,z)关于Ω的对称点P’(x’,y’,z’)的坐标。PP’Ω8.空间中的平面对称相关知识点1．向量内积的定义，欧几里得空间2．向量内积
