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1、数学实验李尚志教授中国科学技术大学数学系2021/6/152021/6/15何谓“数学实验”对数学进行折腾连蒙带猜找规律从问题出发学生自己动手、动眼、动脑借助于计算机(成千上万次折腾)尝试数学的探索、发现和应用2021/6/15实验一:微积分基础函数图象:sin(x)及其Tylor逼近。sin(x)+sin(3x)/3+…sin(1/x)在x=0附近的性状。2021/6/15Sin(x)及其Tylor逼近2021/6/15sinx+sin3x/3+…+sinnx/n2021/6/15Sin(1/x)
2、在x=0附近2021/6/15d=Table[{1/n,Sin[n]},{n,1,1000}](定义点集)ListPlot[d](画出点集)点集中显现出什么曲线?画数据点集合2021/6/15Table[{1/n,Sin[n]},{n,1,10000}]2021/6/15实验二:的计算想一想:怎样算?当一回祖冲之!2021/6/15圆的面积单位圆的面积等于计算第一象限内的单位圆的面积,方法为:把它分成n个窄的曲边梯形,计算S大,S小,其中n可以为1000,10000,...2021/6/15
3、S小S大2021/6/15数值积分:2021/6/15无穷级数法arctanx=x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-.../4=arctan1=1-1/3+1/5-1/7+1/9-…收敛太慢!
4、x
5、应当比1小很多,级数收敛才快。/4=arctan1/2+arctan1/3/4=4arctan1/5-arctan1/2392021/6/15蒙特卡洛方法求出S=/4占S正方形ACBO的比例。随机投点P(x,y)P在圆内x2+y21/4的近似值为落在圆内的点数与总投点数的比值ASCB
6、O2021/6/15某次随机投点的结果2021/6/15实验三:最佳分数近似值问题:祖冲之的圆周率为A.3.141592,B.355/113?上述哪一个值更佳?2021/6/15评选最佳何为最佳?误差d小,分母v小。选法1:递增选v,使d递减。选法2:递增选v,使vd递减。选法3:按v2d从小到大选十佳。2021/6/15快速寻佳2021/6/15音阶的频率比声音越高,频率越高。1,2,3,4,5,6,7,i频率各是多少?高8度i是1的2倍。其余的音是1的几倍?十二平均律:频率等比上升,每半度升高2
7、1/12。比例都是无理数。但为了音乐和谐,比例应是简单分数。矛盾的解决办法:用最佳分数近似值!2021/6/15音阶的频率比高8度i是1的2倍。其余的音是1的几倍?十二平均律:频率等比上升,每半度升高21/12:1,1#,2,2#,3,4,4#,5,5#,6,6#,7,i1,22/12,24/12,25/12,27/12,29/12,211/12,2比例都是无理数:1,1.12246,1.25992,1.33484,1.49831,1.68179,1.88775,2但为了音乐和谐,比例应是简单分数怎
8、样解决矛盾:用分母尽可能小的分数近似值:1,9/8,5/4,4/3,3/2,5/3,15/8,22021/6/15实验八:天体运动万有引力定律-->开普勒定律太阳位置(0,0)时刻ti:天体位置(xi,yi),速度(vix,viy)ri2=xi2+yi2,加速度大小
9、ai
10、=k/(ri2),加速度矢量(aix,aiy)=(-
11、ai
12、xi/ri,-
13、ai
14、yi/ri)ti+1=ti+d:vi+1,x=vix+aixd,vi+1,y=viy+aixd;xi+1=xi+vi+1,xd,yi+1=yi+vi
15、+1,yd从初始位置和初速度开始,一段段画出轨道2021/6/15万有引力定律-->开普勒定律2021/6/15不同的初速度对轨道的影响2021/6/15凹面镜的正确形状画图观察球面镜是否将平行光线聚于一点?要求凹面镜将平行光线聚于一点F,画出凹面镜截面曲线:从顶点P0出发,向垂直于入射光线的方向前进一小段到P1。一般的,设曲线已到Pi,则反射光线为PiF。按反射定律确定镜面曲线的走向,前进一小段到Pi+1点。重复此过程。观察猜测上面画出的是什么曲线?验证。2021/6/15球面镜的反射2021/6
16、/15球面镜的反射正确的聚光镜形状2021/6/15点电荷组的电力线与等势线从一个点电荷的位置P0向任一方向出发走一小段到P1点。利用库伦定律计算P1点电场强度方向,从P1点出发向此方向走一小段到P2点。重复此过程可画出一条电力线。换另外的方向出发可画出另外的电力线。同理可画出等势线。2021/6/15异种电荷同种电荷2021/6/15微分方程dy/dx=x2+y2的解2021/6/15实验七:几何变换(x,y)(x’,y’)x’=f1(x,y),y’=f2(x,