李尚志线性代数

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1、线性代数新教材精彩案例李尚志北京航空航天大学一、指导思想1、主题文学:永恒主题=爱+死?数学:重要主题=方程+函数微积分:非线性线性线性代数:多元一次方程组+多元一次函数组2021/8/13空间解析几何=3维线性代数线性代数=n维解析几何空间为体，矩阵为用几何问题矩阵语言描述矩阵运算解决几何解方程组几何描述代数语言描述矩阵运算求解2、代数几何熔一炉2021/8/13几何PK代数几何好看不好算代数好算不好看几何代数:帮助计算代数几何：帮助理解2021/8/13内容:最简单的方程----一次方程最简

2、单的函数----一次函数算法少：只有两个(1)矩阵初等变换，(2)矩阵乘法。通过初等矩阵相互转化1.5个3、线性代数之易2021/8/13不怪抽象，不怪学生怪谁：只为考试死记硬背，不解决问题解方程组只会用中学代入法;判定方程组解的惟一性不会用线性无关;算旋转不会用矩阵乘法;算旋转轴不会用特征向量;……抽象=许多不同事物共同点=难得糊涂=放之四海皆准=无招胜有招4、线性代数之难:抽象2021/8/13学会少量算法，解决大量问题各种问题转化(凌波微步)少量算法无招胜有招如何实现：通过有招学无招积累案例，使用案例

3、案例：阳春白雪下里巴人抽象数学贴近生活，喜闻乐见，易学易用5、线性代数之教学任务2021/8/13博客与视频http://math.cncourse.comhttp://blog.sina.com.cn/kumath比梦更美好,名师培养了我数学家的文学故事数学聊斋,数学诗选视频:www.youku.com李尚志访谈:教育人生—数学的草根本色CCTV1见证与亲历:首博诞生记网上资源http://www.bb.ustc.edu.cn精品课程国家级数学实验(2003),线性代数(2004)http://jp

4、k.buaa.edu.cn教育部线性代数(非数学专业)(2006)高等数学(2008)(郑志明)联系办法:lisz@buaa.edu.cn数学的神韵科学出版社2010.4新书介绍2021/8/13已出版教材李尚志,线性代数(数学专业用),高等教育出版社,2006.5精品课程网页http://jpk.buaa.edu.cn案例1.1解n元一次方程组与中学接轨：加减消去法各方程乘常数再相加=线性组合原方程组解新方程解原方程解?怎样保证:变形前后互为线性组合!怎样实现:初等变换,高斯消去法。只计算系数:矩阵消元

5、.只用到加减乘除:数域2021/8/13案例2.1方程组惟一解问题例1.过已知点的多项式函数曲线方程组的解是否惟一:2021/8/13方程组惟一解问题例2.已知电压与各电阻,求各段电流对任意电阻值有惟一解?物理：yes.代数：方程组总有惟一解吗？2021/8/13二元一次方程组的几何意义写成向量形式惟一解条件:OA,OB不共线,组成平面上一组基案例2.2n=2,3的几何解法用各aj线性组合b,何时系数惟一？案例2.3.n元方程组几何解释案例2.4共线共面概念推广几何概念难推广，用代数运算描述易推广两向量a,b共线

6、一个是另一个的实数倍xa+yb=0有非零解(x,y).三向量a,b,c共面一个是另两个的线性组合推广到n维向量线性相关:有非零解线性无关:只有零解若有解必惟一xa+yb+zc=0有非零解(x,y,z)2021/8/13解方程组OB顺时针方向旋直角到与方程两边作内积消去y，得是平行四边形OAPB有向面积.称为二阶行列式。案例3.1二阶行列式:几何定义利用基本性质计算2阶行列式利用基本性质计算：=案例3.2三阶行列式几何定义：D=a·(b×c)平行六面体有向体积案例3.3n阶行列式定义3阶算法：各列取不同行元素ai,

7、bj,ck相乘再乘d(ijk)=(-1)s.d(ijk)是自然基列向量ei,ej,ek排成的行列式,经s次两列互换为d(123)=1.n阶行列式D=排列经s次对换变成则在中将1,2,…依次往前一步步换到第1,2,…位.则s=逆序数2021/8/13案例3.4行列式判定线性无关方阵A的行列式(n维体积)D≠0各列线性无关方程组Ax=b有惟一解。证明:A的各列a1,…,an线性相关某列ai是其余各列的线性组合将各列aj的–lj倍加到第i列A的第i列化为零D=0.可见：D≠0各列线性无关.反过来:D=0初

8、等行变换化成阶梯形,最后一行为零各列线性相关.2021/8/13案例3.5惟一解公式(Crammer)以n=3为例:左边第2列乘-y,第3列乘-z,各加到第1列再提取公因子x,得xD=D1x=D1/D.类似可得y=D2/D,z=D3/D.2021/8/13案例4.1秩与维数的惟一性向量组A=(a1,…,am)的线性组合B=(b1,…,bk).k>mB线性相关.记A的线性